Question

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной,равной 30,и высотой ,опущенной на основание ,равной 20 см.Найдите радиус вписанной окружности.

Answer 1

Пусть мы имеем треугольник ABC. AB и AC - боковые стороны, BC - основание. AK - высота, опущенная на основание.
Итак, в равнобедр. тр. высота является также биссектрисой и медианой, т.е. тр. ABK = тр. ACK, и BK=CK (отрезки основания)
Берём один из прямоугольных треугольников и пишем для него теорему Пифагора:
900 = 324 + X^2 (X = отрезок основания)
X^2 = 900-324 = 576 = 24^2
X=24
Значит, целое основание = 48 см
S = Pr/2, или площадь = периметр*радиус впис./2
S = a*ha/2 (основание на высоту основания и пополам)
S = 432
P = 2*30 + 48 = 108

r = 2S/P
r = 8 см

Answer 2

Для нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике, мы можем использовать следующую формулу:

$r = \frac{{a}}{{2 + 2\sin\left(\frac{{\angle A}}{{2}}\right)}}$

где $a$ - длина основания треугольника, $\angle A$ - угол при основании.

В данном случае, основание треугольника равно 30 см, и мы должны найти угол $\angle A$. Мы знаем, что высота опущена на основание и составляет 20 см, что делает треугольник прямоугольным. Таким образом, $\angle A$ - это прямой угол, то есть $90^\circ$.

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

$r = \frac{{30}}{{2 + 2\sin\left(\frac{{90^\circ}}{{2}}\right)}}$

Вычислим значение в скобках:

$\sin\left(\frac{{90^\circ}}{{2}}\right) = \sin\left(45^\circ\right) = \frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Теперь подставим это значение в формулу и решим:

$r = \frac{{30}}{{2 + 2 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{2}}} = \frac{{30}}{{2 + \sqrt{2}}}$

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$r = \frac{{30 \cdot \sqrt{2}}}{{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}} = \frac{{30 \cdot \sqrt{2}}}{{2\sqrt{2} + 2}}$

Теперь упростим дробь, поделив числитель и знаменатель на 2:

$r = \frac{{15 \cdot \sqrt{2}}}{{\sqrt{2} + 1}}$

Это окончательное выражение для радиуса вписанной окружности в данном треугольнике.