Question

В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Прямая BO вторично пересекает описанную окружрость в точке P. а) Докажите, что CP = PO б) Найдите радиус описанной окружности, если ABC = 120°, а расстояние от P до стороны AC равно 21. P.s.: в (б) у меня получилось 14.

Answer 1

а)

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Откуда CO - биссектриса ∠ACB; BO - биссектриса ∠ABC. Биссектриса делит угол пополам.

В ΔOBC: ∠POC - внешний, поэтому равен сумме двух внутренних углов треугольника не смежных с ним. ∠POC = ∠OBC+∠BCO.

∠PCA = ∠PBA, как вписанные углы опирающиеся на одну дугу AP.

∠PBA = ∠PBC, как углы при биссектрисе. Так же ∠ACO = ∠BCO.

В ΔPOC:

∠PCO = ∠PCA+∠ACO = ∠PBC+∠BCO;

∠POC = ∠OBC+∠BCO;

∠PCO = ∠POC ⇒ ΔPOC - равнобедренный (OC - основание) значит, PO=PC, что и требовалось доказать.

б)

Пусть PH⊥AC и H∈AC, тогда PH=21. ∠ABC=120°. T - центр описанной окружности около ΔABC.

Четырёхугольник PABC - вписан в окружность, поэтому ∠APC+∠ABC=180°;

∠APC = 180°-120° = 60°.

∠PCA = ∠PBA = ∠ABC:2 = 120°:2 = 60°

В ΔPCA: ∠PCA=60°; ∠APC =60°; ΔPCA - равнобедренный, с углом при основании в 60°, поэтому это равносторонний треугольник.

Радиус описанной около ΔABC равен радиусу описанной около ΔPCA т.к. это одна окружность.

PH - высота правильного ΔPCA, а значит и медиана.

Центр описанной окружности около правильного треугольника является центром треугольника, в том числе и центром тяжести (т. пересечения медиан). Поэтому радиус описанной равен 2/3 от высоты.

PT = $\dfrac23$ PH = 21·2/3 = 14

Ответ: 14.

Answer 2

а) Докажем, что CP = PO.

Известно, что точка O является центром вписанной окружности треугольника ABC. Значит, AB, BC и CA являются касательными к этой окружности.

Также известно, что точка P - точка пересечения прямой BO с описанной окружностью треугольника ABC.

Так как AB и BC являются касательными к вписанной окружности, то угол ABC равен углу BAC (углы, образованные касательной и хордой, равны).

Таким образом, угол ABC равен углу BAC, а угол ACP равен углу BCP (углы, смежные к равным углам, равны).

Из двух вышеперечисленных равенств следует, что треугольники ACP и BCP подобны.

Тогда отношение сторон треугольников ACP и BCP равно отношению радиусов вписанной и описанной окружностей.

Так как CP - это радиус вписанной окружности, а PO - это радиус описанной окружности, получаем:

CP/PO = r_inscribed/r_circumscribed,

где r_inscribed - радиус вписанной окружности, r_circumscribed - радиус описанной окружности.

Известно, что r_inscribed = (AB + BC - AC)/2 и r_circumscribed = ABC/4sin(ABC), где ABC - угол треугольника ABC.

Подставляя данные значения, получаем:

CP/PO = (AB + BC - AC)/2 / ABC/4sin(ABC),

CP/PO = 2(AB + BC - AC)/ABCsin(ABC).

Докажем, что CP/PO = 1.

Поскольку угол ABC = 120°, а AC = AB + BC (из условия), можно переписать предыдущее выражение следующим образом:

CP/PO = 2(AB + BC - (AB + BC))/(AB + BC)(3/2),

CP/PO = 2(AB + BC - AB - BC)/(AB + BC)(3/2),

CP/PO = 2(-AB)/(AB + BC)(3/2),

CP/PO = -4/3.

Таким образом, получаем CP/PO = -4/3 ≠ 1.

Так как равенство не выполняется, доказательство того, что CP = PO, неверно.

б) Для определения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой:

r_circumscribed = ABC/4sin(ABC),

где ABC - угол треугольника ABC.

Из условия известно, что ABC =