Question

В ТРЕУГОЛИНИКЕ 30,70,80 ГРАДУСОВ ВПИСАНА ОКРУЖНОСТЬ.НАЙДИТЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛНИКА,ВЕРШИНАМИ КОТОРОГО ЯВЛЯЮТСЯ ТОЧКИ КАСАНИЯ ВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ СО СТОРОНАМИ ДАННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Answer 1

Рассмотрим рисунок, данный во вложении.
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. 
Поэтому, соединив точки касания вписанной окружности, мы получим три равнобедренных треугольника. 
Углы 1 равны (180°-80°):2= 50°
Углы 2= (180°-70°):2= 55° 
Углы 3=(180°-30°):2=75° 
Отсюда
угол 4 равен 180°-50°-75°= 55° 
Угол 5= 180°-55°-50°= 75° 
Угол 6=180°-75°-55°= 50° 
Ответ: Искомые углы 50°,55°,75°   

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства треугольников, окружностей и касательных.

Пусть A, B и C - вершины данного треугольника, а P, Q и R - точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Также пусть α, β и γ - углы треугольника ABC, соответствующие вершинам A, B и C, соответственно.

Свойство 1: Линии, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, проходят через центр окружности.

Следовательно, линии AP, BQ и CR проходят через центр вписанной окружности.

Свойство 2: Касательная к окружности в точке касания является перпендикуляром к радиусу, проведенному в этой точке.

Это означает, что линии AP, BQ и CR являются перпендикулярами к радиусам окружности, проведенным к точкам P, Q и R соответственно.

Используя эти свойства, мы можем установить следующие равенства углов:

Угол BAP равен половине угла BAC (α/2), так как это угол между радиусом AP и касательной BQ, проведенной к одной и той же точке касания.

Аналогично, угол ABQ равен половине угла ABC (β/2).

И, наконец, угол ACR равен половине угла ACB (γ/2).

Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, мы можем записать следующее равенство:

(α/2) + (β/2) + (γ/2) = 180

Умножая обе части на 2, получаем:

α + β + γ = 360

Известно, что α + β + γ = 180 (сумма углов треугольника), поэтому мы можем записать систему уравнений:

α + β + γ = 360 α + β + γ = 180

Из этой системы уравнений следует, что α = β = γ = 120.

Таким образом, углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника, равны 120 градусам.