Question

Трапеция KLMN с основаниями KN и LM вписана окружность , центр которой лежит на основании KN.Диогональ KM трапеции равна 4 см , а боковая сторона Kl равна 3 с . Определите длину основания LM. Строно !!

Answer 1

Во-первых, трапеция которая вписана в окружность является равнобедренной, поскольку: 1) сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°; 2) сумма односторонних углов трапеции равна 180°; Значит углы при основании равны.

Пусть радиус окружности равен R; При этом TK = TN = R; По теореме синусов:  $KL=2R \sin \alpha =3$
Поскольку LT = KT как радиусы, треугольник LTK - равнобедренный и ∠KLT = ∠LKT = (180°-2α)/2 = 90-α; По теореме синусов:  $LN = 2R \sin(90^{0}- \alpha )= 2R\cos \alpha =4$; С одной стороны  $2R= \frac{3}{\sin \alpha }$, с другой  $2R = \frac{4}{\cos \alpha }$, откуда  $\sin \alpha =0,6$; 2R = 5; Опустим перпендикуляры на основание с точек L и M; Тогда  $LM = KN-2KL\sin \alpha =5-2*3*0,6=1,4$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанных четырехугольников и трапеций.

Поскольку трапеция KLMN вписана в окружность, то у нее вершины K, L, M и N лежат на окружности. Также, по свойству вписанного угла, угол KML является прямым.

Поскольку KM - диагональ трапеции KLMN, она является диаметром окружности. Следовательно, угол KNL равен 90 градусам.

Мы знаем, что длина стороны KL равна 3 см, а диагональ KM равна 4 см. Так как KL и KM - стороны прямоугольного треугольника KLM, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

KL^2 + LM^2 = KM^2

Вставим известные значения:

3^2 + LM^2 = 4^2

9 + LM^2 = 16

LM^2 = 16 - 9

LM^2 = 7

LM = √7

Таким образом, длина основания LM равна корню из 7 см.