Question

СРОЧНО!!!!!!!!!!!!!  В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса АЕ. Радиус OЕ описанной окружности треугольника AEC пересекает биссектрису угла ACB в точке L. .Докажите, что L лежит на средней линии треугольника AEC.

Answer 1

CF - биссектриса. В равнобедренном треугольнике биссектрисы к боковым сторонам равны, AE=CF. △CAE=△ACF (по двум сторонам и углу между ними), AF=CE. По обратной теореме Фалеса FE || AC, AFEC - равнобедренная трапеция, около неё можно описать окружность. Точки A, F, E, C лежат на одной окружности.

Точки O и E лежат на серединном перпендикуляре к CF, следовательно OE - серединный перпендикуляр к CF, L - середина CF.*

Средняя линия проходит через середину стороны параллельно основанию.

Проведем прямую LM || FE. LM - средняя линия в △FCE, EM=MC.

LM||AC (т.к. FE || AC), LM - средняя линия в △AEC.

_____________________________________________________________

* Или ∠FAE=∠CAE => ∪FE=∪CE => ∠FOE=∠COE, OE - биссектриса ∠COF.

OC=OF, △COF - равнобедренный, OE - медиана, FL=LC.