Question

Точка М равноудалена от вершин равностороннего треугольника АБС, отрезок МН-перпендикуляр, проведённый из точки М к плоскости АБС. Найдите МА, если АБ=6, МН=2.

Answer 1

Точка М равноудалена от вершин равностороннего треугольника АВС, значит она проецируется в центр треугольника АВС, так как проекции равных наклонных равны. Итак, точка Н - центр треугольника АВС.  В правильном треугольнике АВС высота АР является и медианой и биссектрисой угла А.  АР = (√3/2)*а - формула.  АР = 3√3. Высота АР правильного треугольника АВС делится центром Н в отношении 2:1, считая от вершины (свойство). Значит АН=АР*(2/3) = 2√3. По Пифагору из треугольника АМН имеем: АМ=√(АН²+МН²) = √(12+4) = 4.

Ответ: АМ=4 ед.