Question

Геометрическая задача. Только решение

Answer 1

   Диагональ АС четырехугольника АВСD  является диаметром окружности. описанной около этого четырехугольника. Вычислить длину диагонали BD, если АС=4, CD=2√2, ∠BAC:∠CAD=2:3. В ответе укажите значение (2BD-CD)

______________________

Диаметр окружности, описанной около ∆ АDC, равен 4, сторона  CD=2√2.  По т.синусов  СD:sinCAD=2R  ⇒  2√2:sin∠CAD=4. sin∠CAD=2√2:4=√2/2 – это синус 45°.  Угол САD=45°.  Угол D=90° (опирается на диаметр АС). Прямоугольный ∆ CDА равнобедренный, угол АСD=45°, AD=CD=2√2.  По условию ∠BAC:∠CAD=2:3.  ∠ВАС=45°•2/3=30°.⇒ ∠ВАD=75°.

 В треугольнике  АВD  угол АВD - вписанный, опирается на ту же дугу, что угол АСD, ⇒ равен ему. ∠ BАD=ВАС+САD=45°+30°=75°

По т.синусов BD:sin∠BAD=2R=AC.

   BD:sin75°=4  ⇒ BD= 4•sin75    По таблице sin75°=$\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2} }$ ⇒ BD=4•(√3+1):2√2, Домножив числитель и знаменатель этой дроби на √2, получим  ВD=√2•(√3+1)

 Подставим полученное значение BD в нужное выражение (2BD-CD)². [2√2•(√3+1)-2√2]²= [2√2(√3+1-1)]²=(2√6)²=24