Question

Кусок сыра в форме правильной 4-угольной пирамиды SАВСD (S-вершина пирамиды) разрезали одним плоским разрезом, который проходит через ребра АВ и делит ребро SC в отношении 2:3, считая от вершины S. Найдите отношение объемов полученных кусков сыра.

Answer 1

На рис. изображена сама пирамида, вид сверху, треугольник в вертикальном сечении пирамиды и грань DSC.

 

Заметим, что от выбранных масштабов по осям результат не зависит, поэтому можно просто задать произвольные значения длинам сторон основания и ребрам.

 

Примем SC=SD=SA=SB=5, AB=BC=CD=DA=2

Тогда SF=SE=2, FC=ED=3

QC=CD/2=1      OQ=PQ/2=DA/2=1

Найдем SQ=sqrt(SC^2-QC^2)=sqrt(25-1)=sqrt(24)=2*sqrt(6)

Найдем высоту пирамиды H=SO=sqrt((SQ^2-OQ^2)=sqrt(24-1)=sqrt(23)

H=sqrt(23)

Найдем объем пирамиды V=(1/3)*AD*DC*SO=(1/3)*2*2*sqrt(23)=(4/3)*sqrt(23)

V=(4/3)*sqrt(23)

Заметим, что сечение разбивает пирамиду на верхнюю наклонную пирамиду и нижний многогранник, который состоит из двух пирамид FMBCN, ESADT и лежащую на боку призму TSENFM (разбиеним вертикальными сечениями по MN и ST).

Найдем объемы этих тел. Для этого нужно вычислить высоту h=KL.

Из подобия тругольников следует, что h/H=KQ/SQ=3/5

h=(3/5)*H=(3/5)*sqrt(23)

h=(3/5)*sqrt(23)

Далее найдем MS=EF и BM=SA

Опять из подобия треугольников EF/DC=SF/SC=2/5

EF=(2/5)*DC=4/5

EF=MS=4/5

 

SA=(AB-MS)/2= (2-(4/5))/2=3/5

SA=3/5

 

Объем призмы TSENFM= площадь основания (тр-ка SET) * высоту (MS=EF)

площадь тр-ка SET= (1/2)*ST*h=(1/2)*2*(3/5)sqrt(23)=(3/5)sqrt(23)

Объем призмы TSENFM = (3/5)sqrt(23)*(4/5)=(12/25)*sqrt(23)

Объем призмы TSENFM = (12/25)*sqrt(23)

 

Найдем объем пирамиды EASTD.

 

объем пирамиды EASTD=(1/3)*(площадь ее основания) * (ее высоту)

высота пирамиды EASTD=KL=h

площадь основания пирамиды EASTD = AD*SA=2*(3/5)=6/5

объем пирамиды EASTD=(1/3)*(6/5)*(3/5)sqrt(23)=(6/25)*sqrt(23)

Объем пирамиды EASTD=(6/25)*sqrt(23)

 

Объем нижнего многогранника = объем призмы + 2*(объем пирамиды)

Объем нижнего многогранника = (12/25)*sqrt(23) + 2*(6/25)*sqrt(23) = (24/25)*sqrt(23)

 

v = Объем верхней отсеченной пирамиды  = Объем всей пирамиды SADCD - Объем нижнего многогранника

 

v=(4/3)sqrt(23) -(24/25)*sqrt(23)=(28/75)*sqrt(23)

v=(28/75)*sqrt(23)

 

 v/V=((28/75)*sqrt(23)) / ((4/3)sqrt(23))=(28/75) / (4/3) =7/25

 

Ответ: 7/25