Question

Условие задачи: Работник за определенное время должен был изготовить 72 детали. Однако, ежедневно он изготовлял на 4 детали больше, чем планировал и закончил работу на 3 дня раньше срока. За сколько дней он выполнил работу?

Answer 1

Давайте обозначим количество дней, которое работник должен был потратить на изготовление 72 деталей, как \(x\) дней. Также обозначим количество деталей, которое он должен был произвести за один день, как \(y\).

Из условия известно, что работник изготавливал на 4 детали больше, чем планировал, то есть ежедневно он производил \(y + 4\) деталей. Также он закончил работу на 3 дня раньше срока, что значит, что работал в течение \(x - 3\) дней.

У нас есть следующее уравнение:

\[ (x - 3)(y + 4) = 72 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ \begin{align*} &xy = 72 \quad \text{(1)} \\ &(x - 3)(y + 4) = 72 \quad \text{(2)} \end{align*} \]

Решим эту систему уравнений. Раскроем второе уравнение:

\[ xy + 4x - 3y - 12 = 72 \]

Теперь подставим первое уравнение (\(xy = 72\)):

\[ 72 + 4x - 3y - 12 = 72 \]

Упростим:

\[ 4x - 3y = 12 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{align*} &xy = 72 \quad \text{(1)} \\ &4x - 3y = 12 \quad \text{(3)} \end{align*} \]

Решим ее. Умножим первое уравнение (\(xy = 72\)) на 3 и вычтем из второго уравнения (\(4x - 3y = 12\)):

\[ \begin{align*} &3xy = 216 \quad \text{(4)} \\ &(4x - 3y) - (3xy) = 12 - 216 \\ &4x - 3y - 3xy = -204 \\ &4x - 3y(1 + 3x) = -204 \\ \end{align*} \]

Теперь подставим значение из уравнения (1):

\[ 4x - 3y(1 + 3x) = 12 \]

\[ 4x - 3y = 12 \]

Мы видим, что это уравнение совпадает с уравнением (3). Это означает, что система имеет бесконечное количество решений. В данном случае это означает, что существует бесконечное количество комбинаций значений \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют условиям задачи.

Теперь давайте рассмотрим примерное решение. Пусть \(y\) - количество деталей, которые работник должен был производить ежедневно. Тогда у нас есть:

\[ xy = 72 \]

Выберем значение \(y = 8\), тогда \(x = \frac{72}{8} = 9\). Это означает, что работник должен был потратить 9 дней на изготовление 72 деталей. Однако, он работал на 4 детали больше в день, то есть \(y + 4 = 12\) деталей в день. Работая 9 дней, он изготовил \(9 \times 12 = 108\) деталей. Таким образом, он закончил работу на \(108 - 72 = 36\) деталей раньше срока, что соответствует 3 дням. Таким образом, он завершил работу за \(9 - 3 = 6\) дней.

Таким образом, работник выполнил работу за 6 дней.