Question

Решите неравенство методом введения новой переменной 3^1+x · 2^1-x + 3^x · 2^-x ≤ 10,5

Answer 1

Решение неравенства методом введения новой переменной

Чтобы решить данное неравенство, мы можем ввести новую переменную и преобразовать неравенство в более удобную форму для дальнейшего решения.

Давайте обозначим новую переменную как t. Тогда мы можем заменить выражения в неравенстве следующим образом:

t = 3^x · 2^-x

Теперь мы можем переписать неравенство с использованием новой переменной:

3^1+x · 2^1-x + 3^x · 2^-x ≤ 10.5

Заметим, что 3^1+x · 2^1-x можно записать как 3 · 2^x, а 3^x · 2^-x как 2t. Теперь неравенство принимает следующий вид:

3 · 2^x + 2t ≤ 10.5

Далее, мы можем преобразовать это уравнение, выразив t:

2t ≤ 10.5 - 3 · 2^x

t ≤ (10.5 - 3 · 2^x) / 2

Теперь мы можем рассмотреть два случая.

Случай 1: 2^x > 0

Если 2^x > 0, то t > 0, так как t = 3^x · 2^-x и оба множителя положительны.

Тогда наше неравенство примет следующий вид:

t ≤ (10.5 - 3 · 2^x) / 2

(10.5 - 3 · 2^x) / 2 > 0

10.5 - 3 · 2^x > 0

3 · 2^x < 10.5

2^x < 10.5 / 3

x < log2(10.5 / 3)

Таким образом, для этого случая решением неравенства будет:

x < log2(10.5 / 3)

Случай 2: 2^x = 0

Если 2^x = 0, тогда t = 0, и наше неравенство будет иметь вид:

t ≤ (10.5 - 3 · 2^x) / 2

0 ≤ (10.5 - 3 · 2^x) / 2

0 ≤ 10.5 / 2

0 ≤ 5.25

Таким образом, для этого случая любое значение x будет удовлетворять неравенству.

Общее решение

Объединяя результаты из двух случаев, общее решение неравенства будет:

x < log2(10.5 / 3) или любое значение x