Question

Розв'яжіть графічно систему рівнянь x+y=6 xy=8 20балів

Answer 1

Задана система рівнянь: \[ \begin{cases} x + y = 6 \\ xy = 8 \end{cases} \]

Щоб розв'язати цю систему рівнянь графічно, можна скористатися методом побудови графіків функцій.

Спочатку перепишемо кожне з рівнянь у формі, яка дозволяє побудувати графік:

1. \(x + y = 6\) можна переписати у вигляді \(y = 6 - x\). 2. \(xy = 8\) можна переписати у вигляді \(y = \frac{8}{x}\).

Тепер ми можемо побудувати графіки цих функцій на координатній площині.

Спочатку побудуємо графік функції \(y = 6 - x\). Це пряма лінія з виглядом у вигляді прямокутника з віссю ординат в точці 6 і з кутом нахилу -1 (оскільки коефіцієнт перед x -1).

Далі побудуємо графік функції \(y = \frac{8}{x}\). Це гіпербола, яка проходить через точки (1, 8) і (-1, -8) і має асимптоти x=0 та y=0.

Точки перетину цих графіків будуть розв'язками системи рівнянь.

Оскільки рівняння \(xy = 8\) має значення y, яке залежить від значення x, а \(x + y = 6\) описує лінію, то для знаходження точок перетину графіків потрібно знайти значення x, при яких обидва вирази \(6 - x\) та \(\frac{8}{x}\) рівні одне одному.

Для цього підставимо \(6 - x\) замість y в другому рівнянні: \[ \frac{8}{x} = 6 - x \]

Помножимо обидві частини рівняння на x, щоб позбутися від знаменника: \[ 8 = 6x - x^2 \]

Помістимо усе до однієї сторони рівняння, щоб отримати квадратне рівняння: \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння за допомогою дискримінанта або іншими методами. Дискримінант \(D = b^2 - 4ac\) для рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) рівний:

\[ D = (-6)^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4 \]

Дискримінант додатній, тому рівняння має два розв'язки:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \]

Отже, розв'язки для x:

\[ x_1 = 4 \] \[ x_2 = 2 \]

Тепер знайдемо відповідні значення y, підставивши x у вирази для y:

Для \(x = 4\): \[ y = 6 - x = 6 - 4 = 2 \] \[ y = \frac{8}{x} = \frac{8}{4} = 2 \]

Для \(x = 2\): \[ y = 6 - x = 6 - 2 = 4 \] \[ y = \frac{8}{x} = \frac{8}{2} = 4 \]

Таким чином, розв'язки системи рівнянь: \[ (x_1, y_1) = (4, 2) \] \[ (x_2, y_2) = (2, 4) \]

Ці дві точки є точками перетину графіків функцій і, отже, є розв'язками заданої системи рівнянь.