Question

Решите уравнение 4cos^2x-4 cos x-3=0

Answer 1

Дано уравнение: 4cos^2(x) - 4cos(x) - 3 = 0

Для начала, заметим, что уравнение линейно относительно функции cos(x). Мы можем представить его в виде: 4t^2 - 4t - 3 = 0, где t = cos(x).

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена:

Исходное уравнение: 4t^2 - 4t - 3 = 0

Домножим уравнение на 1/4, чтобы коэффициент при t^2 был равен 1:

t^2 - t - 3/4 = 0

Теперь нам нужно разложить целую часть данного квадрата на два множителя так, чтобы их сумма равнялась -1, а их произведение -3/4. Эти числа можно найти путем проб и ошибок или с помощью метаанализа.

Для этого мы можем разложить -3/4 = (-1)(3/4) = (-1)(-12/16), т.е. -12 и 16. Тогда разлагаем -1 на сумму таких двух чисел:

t^2 - 12t + 16t - 3/4 = 0

Затем, сгруппируем по парам:

t(t - 12) + (16t - 3/4) = 0

Факторизуем по частям:

t(t - 12) + 4(4t - 3/16) = 0

Теперь заметим, что первое слагаемое t(t - 12) можно раскладывать дальше:

t(t - 12) = t(t - 4*3) = t(t - 4)(t + 3)

Теперь, вернемся к исходному уравнению:

t(t - 4)(t + 3) + 4(4t - 3/16) = 0

Раскроем скобки:

t(t^2 - t - 12) + 16t - 3/4 = 0

Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

t^3 - t^2 - 12t + 16t - 3/4 = 0

Объединим похожие слагаемые:

t^3 - t^2 + 4t - 3/4 = 0

Воспользуемся формулой суммы кубов: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). В данном случае:

t^3 - t^2 + 4t - 3/4 = (t^3 + 1/4) - (t^2 - 4t + 12) = (t + 1/2)(t^2 - t + 1/4) - (t - 3)(t - 4)

Теперь, вернемся к исходному уравнению:

(t + 1/2)(t^2 - t + 1/4) - (t - 3)(t - 4) = 0

Применим нулевое свойство произведения:

(t + 1/2)(t^2 - t + 1/4) = 0 или (t - 3)(t - 4) = 0

Теперь, решим каждое из уравнений:

1) (t + 1/2)(t^2 - t + 1/4) = 0

Решим квадратное уравнение во втором множителе:

t^2 - t + 1/4 = 0

Дискриминант:

D = (-1)^2 - 4(1)(1/4) = 1 - 1 = 0

Так как дискриминант равен 0, то уравнение имеет единственный корень:

t = -b/2a = 1/2(1) = 1/2

2) (t - 3)(t - 4) = 0

t - 3 = 0 или t - 4 = 0

t = 3 или t = 4

Теперь найдем значения x, зная, что t = cos(x):

1) t = 1/2

cos(x) = 1/2

x = arccos(1/2)

Так как cos(x) = 1/2 в первом квадранте, значит:

x = π/3 + 2πn, где n - целое число.

2) t = 3

cos(x) = 3

Так как cos(x) может принимать значения только от -1 до 1, то в данном случае уравнение не имеет решений.

3) t = 4

cos(x) = 4

В данном случае уравнение тоже не имеет решений, так как cos(x) не может принимать значение больше 1 или меньше -1.

Таким образом, решение исходного уравнения 4cos^2(x) - 4cos(x) - 3 = 0:

x = π/3 + 2πn, где n - целое число.