Question

Помогите решить, пожалуйста!!! 1/((x+3)(x+4)) +1/((x+3)(x+5))+1/(x^2+9x+20)≤1Ответ: (-∞;-6],(-5;-4),(-4;-3),[-2;∞)

Answer 1

Чтобы решить данное неравенство, сначала приведем все дроби к общему знаменателю.

Заметим, что общим знаменателем будет (x+3)(x+4)(x+5), так как это произведение все трех знаменателей данного неравенства.

Умножим каждую дробь на недостающий множитель, чтобы получить общий знаменатель:

1/((x+3)(x+4)) <= (x+3)(x+5)/((x+3)(x+4)(x+5)) + 1/(x^2+9x+20)

1/((x+3)(x+4)) <= (x^2+8x+15)/((x+3)(x+4)(x+5)) + 1/(x^2+9x+20)

Теперь объединим дроби в одну, сложив их числители:

1/((x+3)(x+4)) <= [(x^2+8x+15) + (x^2+9x+20)]/((x+3)(x+4)(x+5))

1/((x+3)(x+4)) <= (2x^2 + 17x + 35)/((x+3)(x+4)(x+5))

Теперь умножим обе части неравенства на (x+3)(x+4)(x+5), чтобы убрать знаменатель:

(x+3)(x+4)(x+5) * 1/((x+3)(x+4)) <= (x+3)(x+4)(x+5) * (2x^2 + 17x + 35)/((x+3)(x+4)(x+5))

(x+4)(x+5) <= 2x^2 + 17x + 35

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^2 + 9x + 20 <= 2x^2 + 17x + 35

2x^2 + 17x + 35 - x^2 - 9x - 20 >= 0

x^2 + 8x + 15 >= 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение.

Для этого можно либо использовать факторизацию, либо воспользоваться квадратным корнем.

(x+3)(x+5) >= 0

Мы видим, что это неравенство имеет только две точки, где оно равно нулю: x = -3 и x = -5.

Теперь построим знаковую линию:

---o---o---

-5 -4 -3

Теперь проверим знаки на интервалах между точками:

- В интервале (-∞, -5) неравенство (x+3)(x+5) > 0, так как оба множителя имеют одинаковый знак.

- В интервале (-5, -3) неравенство (x+3)(x+5) < 0, так как множители имеют противоположные знаки.

- В интервале (-3, +∞) неравенство (x+3)(x+5) > 0, так как оба множителя имеют одинаковый знак.

Теперь найдем значения x при которых полученное квадратное уравнение (x^2 + 8x + 15 >= 0) равно нулю.

Для этого дискриминант должен быть меньше или равен нулю:

D = 8^2 - 4*1*15 = 64 - 60 = 4

D > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

x1,2 = (-8 ± √4) / 2 = (-8 ± 2) / 2

x1 = (-8 + 2) / 2 = -6

x2 = (-8 - 2) / 2 = -5

Таким образом, решение данного неравенства будет:

(-∞, -6], (-5, -4), (-4, -3), [-2, +∞)