Question

Найдите точку максимума функции y=x^3-21x^2+19

Answer 1

Для того чтобы найти точку максимума функции y = x^3 - 21x^2 + 19, нам нужно найти значение x, при котором функция достигает своего максимального значения.

Шаг 1: Найти производную функции

Для начала найдем производную функции y по x. Производная покажет нам, как функция меняется по мере изменения значения x.

Для нашей функции y = x^3 - 21x^2 + 19, производная будет:

y' = 3x^2 - 42x

Шаг 2: Найти точки, где производная равна нулю

Чтобы найти точки, где производная равна нулю, мы должны решить уравнение:

3x^2 - 42x = 0

Мы можем вынести общий множитель x и решить уравнение:

x(3x - 42) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x:

x = 0 или 3x - 42 = 0, что приводит к x = 14.

Шаг 3: Проверить вторую производную

Чтобы убедиться, что найденные значения x являются точками максимума, мы должны проверить вторую производную функции.

Возьмем вторую производную от исходной функции y:

y'' = 6x - 42

Шаг 4: Определить, являются ли найденные значения точками максимума

Подставим найденные значения x = 0 и x = 14 во вторую производную:

y''(x = 0) = 6(0) - 42 = -42 y''(x = 14) = 6(14) - 42 = 42

Значение y''(x = 0) отрицательное, а y''(x = 14) положительное. Это означает, что при x = 0 функция имеет точку минимума, а при x = 14 функция имеет точку максимума.

Шаг 5: Найти значение y при x = 14

Подставим найденное значение x = 14 в исходную функцию y = x^3 - 21x^2 + 19:

y(14) = (14)^3 - 21(14)^2 + 19 = 274

Таким образом, точка максимума функции y = x^3 - 21x^2 + 19 находится в точке (14, 274), где x = 14 и y = 274.