Question

Докажите, что уравнение x^3-x-3=0 не имеет целых корней.

Answer 1

Для доказательства того, что уравнение x^3 - x - 3 = 0 не имеет целых корней, я воспользуюсь методом поиска рациональных корней.

Пусть уравнение имеет целый корень x = p/q, где p и q - целые числа, а q ≠ 0. Мы можем считать, что p и q не имеют общих делителей, так как, если они имеют общие делители, мы можем их сократить и получить простейшую дробь.

Заменим x в исходном уравнении на p/q: (p/q)^3 - p/q - 3 = 0. Упростим это выражение, приведя к общему знаменателю:

(p^3/q^3) - (pq^2/q^3) - (3q^3/q^3) = 0.

Теперь, чтобы упростить это уравнение, умножим все его части на q^3 и получим:

p^3 - pq^2 - 3q^3 = 0.

Таким образом, получили, что 3q^3 = p^3 - pq^2. Правая часть равенства должна быть кратна 3, так как она содержит p^3, а p - целое число. Левая часть равенства также должна быть кратна 3, так как 3 умножено на q^3. Но это возможно только если и p^3, и p*q^2 кратны 3.

Возможны два случая:

1) p и q делятся на 3.

Пусть p = 3p_1 и q = 3q_1, где p_1 и q_1 - целые числа. Подставим эти значения в уравнение:

(3p_1)^3 - (3p_1)(3q_1)^2 - 3(3q_1)^3 = 0.

Или

27p_1^3 - 27p_1q_1^2 - 81q_1^3 = 0.

Дальше можно заметить, что 27 также является общим множителем всех слагаемых, таким образом получаем:

27(p_1^3 - p_1q_1^2 - 3q_1^3) = 0.

Получили, что выражение в скобках тоже должно быть кратно 27. Но это приводит нас к бесконечному спиральному процессу, так как внутри скобки также присутствуют p_1 и q_1, которые также могут делиться на 3. Таким образом, p и q не могут делиться на 3 одновременно.

2) p делится на 3, q не делится на 3.

Если p делится на 3, то p = 3p_1, где p_1 - целое число. Подставим это значение в уравнение:

(3p_1)^3 - (3p_1)q^2 - 3q^3 = 0.

Или

27p_1^3 - 9p_1q^2 - 3q^3 = 0.

Заметим, что 3 является общим множителем во всех слагаемых:

3(9p_1^3 - 3p_1q^2 - q^3) = 0.

Получили, что выражение в скобках должно быть кратно 3, но это возможно только если q также делится на 3. Противоречие, так как предположение было, что q не делится на 3.

Таким образом, мы получили противоречие в обоих случаях, что означает, что исходное уравнение x^3 - x - 3 = 0 не имеет целых корней.