Question

F(x) = 3x/(x^(2 )-1) вычислить f`(0). f(-2) (Тема ПРОИЗВОДНАЯ)

Answer 1

Конечно, давайте пошагово вычислим производную функции \(f(x) = \frac{3x}{x^2 - 1}\) и найдем значение производной в точке \(x = 0\) и \(x = -2\).

1. Нахождение производной \(f(x)\):

Для начала, выразим функцию \(f(x)\) так, чтобы было удобнее брать производные. Используем правило частного дифференцирования:

\[ f(x) = \frac{3x}{x^2 - 1} = \frac{3x}{(x + 1)(x - 1)} \]

Теперь продифференцируем это выражение по переменной \(x\). Для этого воспользуемся правилом производной частного:

\[ f'(x) = \frac{(x - 1) \cdot 3 - 3x \cdot 1}{(x + 1)^2} \]

Упростим числитель:

\[ f'(x) = \frac{3x - 3 - 3x}{(x + 1)^2} = \frac{-3}{(x + 1)^2} \]

2. Вычисление \(f'(0)\):

Подставим \(x = 0\) в выражение для производной:

\[ f'(0) = \frac{-3}{(0 + 1)^2} = -3 \]

Таким образом, \(f'(0) = -3\).

3. Вычисление \(f'(-2)\):

Подставим \(x = -2\) в выражение для производной:

\[ f'(-2) = \frac{-3}{(-2 + 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 \]

Таким образом, \(f'(-2) = -3\).

Итак, производная функции \(f(x)\) равна \(\frac{-3}{(x + 1)^2}\), и значения производной в точках \(x = 0\) и \(x = -2\) равны соответственно \(-3\).