Question

1) x(x-8)>(2x-1)^2 2)x^2/3+5/63)с графиком 3x^2+4x-4<0

Answer 1

Давайте решим каждое из уравнений (неравенств) поочередно.

1. \(x(x-8) > (2x-1)^2 + 2\)

Раскроем скобки: \(x^2 - 8x > 4x^2 - 4x + 1 + 2\) Перенесем все члены в одну сторону: \(0 > 3x^2 + 4x - 3\) Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, найдя корни. Для этого выразим уравнение в виде \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -3\).

Используем квадратное уравнение: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Подставим значения: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)}\)

Вычислим подкоренное выражение: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 36}}{6}\) \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{52}}{6}\) \(x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{13}}{6}\)

Упростим дробь: \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{3}\)

Таким образом, решение неравенства \(x(x-8) > (2x-1)^2 + 2\) это \(x \in \left(\frac{-2 - \sqrt{13}}{3}, \frac{-2 + \sqrt{13}}{3}\right)\).

2. \(\frac{x^2}{3} + \frac{5}{6} > 0\)

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от знаменателя: \(x^2 + \frac{5}{2} > 0\)

Теперь выразим неравенство как сумму квадрата и положительного числа: \(x^2 + \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2 > 0\)

Это неравенство всегда истинно для любого значения \(x\), так как сумма квадрата и положительного числа всегда положительна. Таким образом, решение этого неравенства - это весь диапазон действительных чисел.

3. \(3x^2 + 4x - 4 < 0\)

Это квадратное уравнение. Мы можем использовать метод квадратного трехчлена для нахождения корней. У нас есть: \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = -4\)

Рассчитаем дискриминант: \(\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64\)

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Выразим их с помощью квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Подставим значения: \(x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6}\) \(x = \frac{-4 \pm 8}{6}\)

Два корня: \(x_1 = \frac{-4 - 8}{6} = -2\) \(x_2 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{2}{3}\)

Таким образом, решение неравенства \(3x^2 + 4x - 4 < 0\) это \(x \in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(-\infty, \frac{2}{3}\right)\).

Теперь можно построить график этих функций на числовой оси, чтобы визуально представить решения этих неравенств.