Question

Последняя цифра суммы квадратов всех чисел от 97 до 197

Answer 1

Для решения этой задачи нам нужно найти сумму квадратов всех чисел от 97 до 197 и определить последнюю цифру этой суммы.

Для начала, найдем сумму квадратов всех чисел от 97 до 197. Мы можем использовать формулу для суммы квадратов первых n натуральных чисел:

S = (n(n + 1)(2n + 1)) / 6,

где n - количество чисел в последовательности от 1 до n.

В нашем случае, нам нужно найти сумму квадратов всех чисел от 1 до 197 и вычесть из нее сумму квадратов всех чисел от 1 до 96.

Для первой последовательности (от 1 до 197) n = 197, и согласно формуле, сумма квадратов будет:

S1 = (197(197 + 1)(2 * 197 + 1)) / 6.

Аналогично, для второй последовательности (от 1 до 96) n = 96, и сумма квадратов будет:

S2 = (96(96 + 1)(2 * 96 + 1)) / 6.

Теперь, чтобы найти сумму квадратов всех чисел от 97 до 197, мы вычитаем S2 из S1:

S = S1 - S2.

После вычислений, нам останется только найти последнюю цифру этой суммы S.

Однако, чтобы упростить вычисления, мы можем воспользоваться следующим свойством: если a и b - целые числа, то (a - b) % m = ((a % m) - (b % m)) % m. То есть, для определения последней цифры суммы, мы можем поэлементно вычислять последнюю цифру разности суммы для каждой из трех последовательностей.

Таким образом, нам нужно:

1. Вычислить последнюю цифру S1. 2. Вычислить последнюю цифру S2. 3. Вычислить разность последних цифр S1 и S2. 4. Определить последнюю цифру этой разности.

Теперь вычислим каждую из этих величин.

1. Вычислим S1: S1 = (197(197 + 1)(2 * 197 + 1)) / 6. S1 = (197 * 198 * 395) / 6. S1 = 1554085.

2. Вычислим S2: S2 = (96(96 + 1)(2 * 96 + 1)) / 6. S2 = (96 * 97 * 193) / 6. S2 = 301716.

3. Вычислим разность последних цифр S1 и S2: Последняя цифра S1 = 5. Последняя цифра S2 = 6. Разность последних цифр: 5 - 6 = -1.

4. Определим последнюю цифру разности: Так как последняя цифра -1 отрицательная, то мы можем прибавить 10 к этой разности, чтобы получить положительное число. Таким образом, последняя цифра разности будет 9.

Итак, последняя цифра суммы квадратов всех чисел от 97 до 197 равна 9.