Question

При каком значении k система имеет: а) единственное решение, б) бесконечное множество решений, в) не имеет решений. (k-2)x+5y=5 x+(k+2)y=5

Answer 1

Система линейных уравнений с параметром k имеет вид:

(k - 2)x + 5y = 5 x + (k + 2)y = 5

Для решения этой системы можно использовать метод Крамера, который основан на вычислении определителей матриц. Главный определитель системы равен:

Δ = | k - 2 5 1 k + 2 | = (k - 2)(k + 2) - 5 = k^2 - 9

Определитель x равен:

Δ_x = | 5 5 1 k + 2 | = 5(k + 2) - 5 = 5k

Определитель y равен:

Δ_y = | k - 2 5 1 5 | = 5(k - 2) - 5 = 5k - 15

Решение системы будет зависеть от значения параметра k. Рассмотрим три случая:

а) Система имеет единственное решение, если главный определитель не равен нулю, то есть k ≠ ±3. Тогда решение системы можно найти по формулам:

x = Δ_x / Δ = 5k / (k^2 - 9) y = Δ_y / Δ = (5k - 15) / (k^2 - 9)

б) Система имеет бесконечное множество решений, если все определители равны нулю, то есть k = 0 или k = 3. Тогда система становится тождественной, и любая пара чисел (x, y) является решением.

в) Система не имеет решений, если главный определитель равен нулю, а хотя бы один из остальных определителей не равен нулю, то есть k = -3. Тогда система становится противоречивой, и никакая пара чисел (x, y) не удовлетворяет обоим уравнениям.как решать системы линейных уравнений с параметром