Question

Решить неравенство: |7-2x|<|3x-7|+x+2

Answer 1

Для решения данного неравенства, мы можем применить несколько шагов. Давайте начнем с разбиения неравенства на несколько случаев, в зависимости от знаков внутри модулей. Затем мы проверим каждый случай и найдем значения x, которые удовлетворяют неравенству.

Разбиение на случаи:

1. Когда $7-2x \geq 0$ и $3x-7 \geq 0$: В этом случае оба модуля могут быть упрощены без изменения знака. Наше неравенство теперь выглядит так: $7-2x < 3x-7+x+2$.

2. Когда $7-2x \geq 0$ и $3x-7 < 0$: В этом случае первый модуль может быть упрощен, а второй модуль должен изменить знак. Наше неравенство будет выглядеть так: $7-2x < -(3x-7)+x+2$.

3. Когда $7-2x < 0$ и $3x-7 \geq 0$: В этом случае первый модуль должен изменить знак, а второй модуль может быть упрощен. Наше неравенство будет выглядеть так: $-(7-2x) < 3x-7+x+2$.

4. Когда $7-2x < 0$ и $3x-7 < 0$: В этом случае оба модуля должны изменить знак. Наше неравенство будет выглядеть так: $-(7-2x) < -(3x-7)+x+2$.

Решение каждого случая:

1. $7-2x < 3x-7+x+2$: Раскроем скобки и сгруппируем переменные x: $7-2x < 3x-7+x+2 \\ 9 < 6x \\ \frac{9}{6} < x \\ \frac{3}{2} < x$

2. $7-2x < -(3x-7)+x+2$: Раскроем скобки и сгруппируем переменные x: $7-2x < -3x+7+x+2 \\ 9 < 2x \\ \frac{9}{2} < x$

3. $-(7-2x) < 3x-7+x+2$: Раскроем скобки и сгруппируем переменные x: $-7+2x < 3x-7+x+2 \\ 2x < 4x-5 \\ -2x < -5 \\ 2x > 5 \\ x > \frac{5}{2}$

4. $-(7-2x) < -(3x-7)+x+2$: Раскроем скобки и сгруппируем переменные x: $-7+2x < -3x+7+x+2 \\ 2x < 2x+2 \\ 0 < 2$

Ответ:

Таким образом, решение неравенства $|7-2x| < |3x-7|+x+2$ будет: - Для случая 1: $\frac{3}{2} < x$ - Для случая 2: $\frac{9}{2} < x$ - Для случая 3: $x > \frac{5}{2}$ - Для случая 4: нет решений, так как неравенство $0 < 2$ неверно.

Поэтому, объединяя все решения, получаем: $x > \frac{3}{2}, x > \frac{9}{2}, x > \frac{5}{2}$. То есть, решением данного неравенства является $x > \frac{9}{2}$.