Question

Постройте график функции y=lx^2+x-2l. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Answer 1

Давайте рассмотрим функцию \( y = |x^2 + x - 2| \). Чтобы построить график этой функции, мы можем разделить ее на две части, учитывая модуль:

1. Когда выражение \( x^2 + x - 2 \) положительное (то есть \( x^2 + x - 2 > 0 \)): В этом случае мы можем написать функцию как \( y = x^2 + x - 2 \).

2. Когда выражение \( x^2 + x - 2 \) отрицательное (то есть \( x^2 + x - 2 < 0 \)): В этом случае мы можем написать функцию как \( y = -(x^2 + x - 2) \).

Давайте найдем корни уравнения \( x^2 + x - 2 = 0 \), чтобы определить интервалы, на которых меняется знак выражения.

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решение этого квадратного уравнения может быть найдено, например, с использованием формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 1, b = 1, c = -2 \). Тогда

\[ D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \]

Таким образом, корни уравнения \( x^2 + x - 2 = 0 \) равны \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 1 \).

Теперь мы можем построить график. На интервале \((- \infty, -2)\) и \((1, +\infty)\) функция \( y = |x^2 + x - 2| \) будет равна \( y = x^2 + x - 2 \), а на интервале \((-2, 1)\) она будет равна \( y = -(x^2 + x - 2) \).

Для того чтобы определить, сколько общих точек может быть с прямой, параллельной оси абсцисс, давайте рассмотрим эту прямую. Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение вида \( y = c \), где \( c \) - постоянная.

Таким образом, чтобы найти точки пересечения функции с прямой, подставим \( y = c \) в уравнение функции и решим полученное уравнение относительно \( x \):

1. На интервале \((- \infty, -2)\) и \((1, +\infty)\): \( x^2 + x - 2 = c \). 2. На интервале \((-2, 1)\): \( -(x^2 + x - 2) = c \).

Определение точного числа общих точек потребует конкретного значения \( c \). Таким образом, решение будет зависеть от конкретной прямой, параллельной оси абсцисс, с которой мы сравниваем функцию.