Question

Известно,что натуральные числа m и n таковы,что значение выражения 10m+n делится нацело на 11.Докажите,что значение выражения (10m+n)(10m+n) делится нацело на 121.

Answer 1

Для доказательства данного утверждения воспользуемся алгоритмом деления с остатком.

Пусть значение выражения 10m + n равно k * 11, где k - некоторое натуральное число. Тогда выражение (10m + n)(10m + n) можно переписать в виде: (10m + n)(10m + n) = (10m + n)(11k) = (10m + n)(11)k = 110mk + 11nk.

Мы видим, что первое слагаемое в данной сумме 110mk является кратным 121, так как 121 = 11 * 11. Таким образом, это слагаемое делится нацело на 121. Остается рассмотреть второе слагаемое 11nk. Мы уже знаем, что k равно целому числу, а n и m - натуральные числа. Таким образом, 11nk делится нацело на 11.

Таким образом, оба слагаемых в выражении (10m + n)(10m + n) делятся нацело на 121, следовательно, и само выражение (10m + n)(10m + n) также делится нацело на 121. Это и требовалось доказать.