Question

Вычислить: а). Lg (0.5 + х) =Lg 2-Lg х б). Lg х=3-Lg 5

Answer 1

Давайте решим данные уравнения:

а) \( \lg(0.5 + x) = \lg 2 - \lg x \)

Используем свойства логарифмов:

\[ \lg(0.5 + x) = \lg 2 - \lg x \]

\[ \lg(0.5 + x) = \lg\frac{2}{x} \]

Теперь избавимся от логарифмов, применяя основание логарифма 10 (обычно это подразумевается, если не указано другое):

\[ 0.5 + x = \frac{2}{x} \]

Умножим обе стороны на \( x \) для избавления от дроби:

\[ 0.5x + x^2 = 2 \]

\[ x^2 + 0.5x - 2 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1, b = 0.5, c = -2 \).

Подставим значения:

\[ x = \frac{-0.5 \pm \sqrt{0.5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-0.5 \pm \sqrt{0.25 + 8}}{2} \]

\[ x = \frac{-0.5 \pm \sqrt{8.25}}{2} \]

\[ x = \frac{-0.5 \pm \sqrt{33}}{2} \]

Таким образом, получаем два решения:

\[ x_1 = \frac{-0.5 + \sqrt{33}}{2} \] \[ x_2 = \frac{-0.5 - \sqrt{33}}{2} \]

б) \( \lg x = 3 - \lg 5 \)

Используем свойства логарифмов:

\[ \lg x = 3 - \lg 5 \]

\[ \lg x = \lg 10^3 - \lg 5 \]

\[ \lg x = \lg \frac{10^3}{5} \]

Теперь избавимся от логарифмов:

\[ x = \frac{10^3}{5} \]

\[ x = \frac{1000}{5} \]

\[ x = 200 \]

Таким образом, решение уравнения \( \lg x = 3 - \lg 5 \) равно \( x = 200 \).