Question

Найдите все рациональные числа а, при которых выполняется равенство: 27(корень(3))^(а+2)=3^a

Answer 1

Давайте решим уравнение:

\[ 27 \cdot (\sqrt{3})^{a+2} = 3^a \]

Сначала упростим выражения с обеих сторон:

\[ 27 \cdot 3^{(a+2)/2} = 3^a \]

Теперь приведем числа к одной базе (3):

\[ 3^3 \cdot 3^{(a+2)/2} = 3^a \]

\[ 3^{3 + (a+2)/2} = 3^a \]

Теперь сравним степени:

\[ 3 + \frac{a+2}{2} = a \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 6 + a + 2 = 2a \]

\[ 8 + a = 2a \]

\[ a = 8 \]

Таким образом, уравнение выполняется при \( a = 8 \). Проверим:

\[ 27 \cdot (\sqrt{3})^{8+2} = 27 \cdot 3^5 = 27 \cdot 243 = 6561 \]

\[ 3^8 = 6561 \]

Таким образом, уравнение выполняется при \( a = 8 \).