Question

При каких значениях а корни уравнения х2-2(а-1)х+2а+1=0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?

Answer 1

Для уравнения x^2 - 2(a-1)x + 2a + 1 = 0, чтобы иметь разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4, необходимо выполнение следующих условий:

1) Коэффициент при x^2 должен быть положительным, так как иначе уравнение будет иметь набор корней с одинаковыми знаками. То есть, a > 1.

2) Знаменатель коэффициента при x^2 должен быть положительным, чтобы корни имели разные знаки. То есть, a - 1 > 0, откуда следует, что a > 1.

3) Дискриминант уравнения должен быть положительным, чтобы иметь два корня. Дискриминант D = (-2(a-1))^2 - 4(1)(2a+1) = 4(a^2 - 2a +1) - 8a - 4 = 4a^2 - 16a = 4a(a - 4). Следовательно, a(a - 4) > 0. То есть, либо a < 0, либо a > 4.

4) Для того чтобы корни по абсолютной величине были меньше 4, необходимо выполнение следующих условий: -4 < корни < 4, то есть -4 < x1, x2 < 4. Исключая значения a = 0, a = 4, визуализируя график квадратного уравнения, находим, что подходящие значения для a находятся в интервале (1, 4).

Итак, подходящие значения для a, при которых корни уравнения x^2 - 2(a-1)x + 2a + 1 = 0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4, являются числами a из интервала (1, 4).