Question

найти наибольшее и наименьшее значение функции z=x^2+y^2-9xy+27 в замкнутой области D, заданной системой неравенств 0=<x=<3, 0=<y=<3. Сделать чертеж.

Answer 1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции z=x^2+y^2-9xy+27 в замкнутой области D, заданной системой неравенств 0

1. Для начала найдем критические точки, где частные производные функции равны нулю. Возьмем частные производные по x и y:

∂z/∂x = 2x - 9y ∂z/∂y = 2y - 9x

Приравняем их к нулю:

2x - 9y = 0 2y - 9x = 0

Решим систему уравнений:

2x = 9y 2y = 9x

Разделим уравнения:

x/y = 9/2 y/x = 2/9

Отсюда получаем, что x^2 = 27/4 и y^2 = 4/27.

2. Проверим значения функции z на границах области D. Подставим значения границ в функцию z:

z(0, y) = y^2 + 27 z(3, y) = 9 - 9y + y^2 + 27 z(x, 0) = x^2 + 27 z(x, 3) = 9 - 27x + x^2 + 27

3. Осталось найти значение функции z в критических точках и выбрать наибольшее и наименьшее значение из всех найденных значений.

z(√(27/4), √(4/27)) ≈ 11.085 (наибольшее значение функции в области D) z(-√(27/4), -√(4/27)) ≈ 22.17 (наименьшее значение функции в области D)

Теперь можно построить чертеж, на котором отметить область D и значения наибольшего и наименьшего значения функции z.