Question

Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке (- бесконечности до + бесконечности) а) F(x) = x^3-2x +1, f(x) =3x^2-2б) F(x) =2sin2x-2, f(x) =4cos2x​

Answer 1

Для того чтобы доказать, что функция f(x) имеет первообразную на промежутке от -∞ до +∞, мы должны показать, что интеграл от f(x) по x существует и является функцией, обозначаемой F(x), которая является первообразной для f(x).

a) Для функции f(x) = x^3 - 2x + 1, мы можем найти первообразную, выполнив интегрирование:

F(x) = ∫(x^3 - 2x + 1) dx = (1/4)x^4 - x^2 + x + C,

где С - произвольная постоянная.

Таким образом, функция F(x) = (1/4)x^4 - x^2 + x + C является первообразной для f(x) на промежутке от -∞ до +∞.

b) Для функции f(x) = 3x^2 - 2, мы можем найти первообразную, выполнив интегрирование:

F(x) = ∫(3x^2 - 2) dx = x^3 - 2x + C,

где С - произвольная постоянная.

Таким образом, функция F(x) = x^3 - 2x + C является первообразной для f(x) на промежутке от -∞ до +∞.

c) Для функции f(x) = 2sin(2x) - 2, мы можем найти первообразную, выполнив интегрирование:

F(x) = ∫(2sin(2x) - 2) dx = -cos(2x) - 2x + C,

где С - произвольная постоянная.

Таким образом, функция F(x) = -cos(2x) - 2x + C является первообразной для f(x) на промежутке от -∞ до +∞.

d) Для функции f(x) = 4cos(2x), мы можем найти первообразную, выполнив интегрирование:

F(x) = ∫4cos(2x) dx = 2sin(2x) + C,

где С - произвольная постоянная.

Таким образом, функция F(x) = 2sin(2x) + C является первообразной для f(x) на промежутке от -∞ до +∞.