Question

Помогите,пожалуйста с заданием. Если можно,то поподробнее решение и во вложении. Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями: y=x^2-4x+5 y=x+1

Answer 1

Для вычисления площади фигуры, ограниченной указанными линиями, нам понадобится найти точки пересечения этих линий. Затем мы можем использовать интеграл для вычисления площади между этими точками.

Нахождение точек пересечения линий

Для начала, найдем точки пересечения линий y = x^2 - 4x + 5 и y = x + 1. Для этого приравняем выражения для y и решим уравнение:

x^2 - 4x + 5 = x + 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

x^2 - 5x + 4 = 0

Факторизуем это квадратное уравнение:

(x - 1)(x - 4) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 1 и x = 4.

Вычисление площади фигуры

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нам нужно взять интеграл от разности функций y = x^2 - 4x + 5 и y = x + 1 в пределах от x = 1 до x = 4.

Площадь фигуры будет вычисляться следующим образом:

S = ∫[1, 4] (x^2 - 4x + 5 - (x + 1)) dx

Выполним вычисления:

S = ∫[1, 4] (x^2 - 4x + 5 - x - 1) dx

S = ∫[1, 4] (x^2 - 5x + 4) dx

S = [1/3 * x^3 - 5/2 * x^2 + 4x] [1, 4]

S = (1/3 * 4^3 - 5/2 * 4^2 + 4 * 4) - (1/3 * 1^3 - 5/2 * 1^2 + 4 * 1)

S = (64/3 - 80/2 + 16) - (1/3 - 5/2 + 4)

S = (64/3 - 40/3 + 48/3) - (1/3 - 15/6 + 24/6)

S = (72/3) - (10/3)

S = 62/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x + 5 и y = x + 1 в пределах от x = 1 до x = 4, равна 62/3 или примерно 20.67.