Question

Решить логарифмическое уравнение: lg(x-2)+lgx=lg8

Answer 1

Конечно, давай решим это уравнение шаг за шагом!

У нас дано уравнение:

\[ \log(x-2) + \log(x) = \log(8) \]

Для начала воспользуемся свойствами логарифмов. Мы знаем, что сумма логарифмов одного и того же основания равна логарифму произведения аргументов:

\[ \log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c) \]

Таким образом, можем преобразовать уравнение:

\[ \log(x-2) + \log(x) = \log(8) \] \[ \log((x-2) \cdot x) = \log(8) \]

Теперь выразим логарифмы через аргументы:

\[ (x-2) \cdot x = 8 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 2x = 8 \]

Приведем это уравнение к квадратному виду:

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Теперь попробуем решить квадратное уравнение. Мы можем попробовать разложить -8 на два множителя так, чтобы их сумма давала -2 (коэффициент перед x):

\[ x^2 - 4x + 2x - 8 = 0 \] \[ x(x - 4) + 2(x - 4) = 0 \] \[ (x + 2)(x - 4) = 0 \]

Теперь находим значения x:

\[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \] \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \]

Однако, у нас есть логарифм вида \(\log(x-2)\), а в логарифме аргумент должен быть положительным. Поэтому исключаем значение \(x = -2\).

Таким образом, корень уравнения \(x^2 - 2x - 8 = 0\) равен \(x = 4\). Проверим это значение, подставив его в исходное уравнение:

\[ \log(4 - 2) + \log(4) = \log(2) + \log(4) = \log(2 \cdot 4) = \log(8) \]

Подтверждаем, что \(x = 4\) является корнем данного логарифмического уравнения.