Question

Упростите выражение ctg (pi/2+α)-tg(2pi-α)

Answer 1

Для начала давайте рассмотрим выражение `ctg(pi/2 + α) - tg(2pi - α)` и постараемся его упростить.

Тригонометрические тождества

Для упрощения данного выражения нам понадобятся некоторые тригонометрические тождества:

1. Тангенс суммы: `tg(a + b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a)*tg(b))`. 2. Котангенс суммы: `ctg(a + b) = 1 / tg(a + b) = (tg(a) * tg(b) - 1) / (tg(a) + tg(b))`. 3. Тангенс разности: `tg(a - b) = (tg(a) - tg(b)) / (1 + tg(a)*tg(b))`. 4. Котангенс разности: `ctg(a - b) = 1 / tg(a - b) = (tg(b) - tg(a)) / (tg(a) * tg(b) + 1)`.

Решение

Теперь применим эти тождества к нашему выражению:

ctg(pi/2 + α) - tg(2pi - α)

Заменим `ctg(pi/2 + α)` с помощью тождества котангенса суммы, а `tg(2pi - α)` с помощью тождества тангенса разности:

( tg(pi/2) * tg(α) - 1 ) / ( tg(pi/2) + tg(α) ) - ( tg(2pi) - tg(α) ) / ( 1 + tg(2pi) * tg(α) )

Так как `tg(pi/2) = 1` и `tg(2pi) = 0`, мы можем упростить выражение дальше:

( tg(α) - 1 ) / ( 1 + tg(α) ) - ( -tg(α) ) / ( 1 + (0 * tg(α)) )

Продолжим упрощение:

( tg(α) - 1 ) / ( 1 + tg(α) ) + tg(α) / 1

Общий знаменатель в первой дроби равен `1 + tg(α)`. Мы можем объединить дроби, умножив числитель первой дроби на `1`:

( tg(α) - 1 + tg(α) * (1 + tg(α)) ) / ( 1 + tg(α) )

Раскроем скобки:

( tg(α) - 1 + tg(α) + tg^2(α) ) / ( 1 + tg(α) )

Упростим:

( 2 * tg(α) + tg^2(α) - 1 ) / ( 1 + tg(α) )

Таким образом, упрощенное выражение равно `(2 * tg(α) + tg^2(α) - 1) / (1 + tg(α))`.

Кодовый пример

```python import math

def simplify_expression(alpha): tg_alpha = math.tan(alpha) expression = (2 * tg_alpha + math.pow(tg_alpha, 2) - 1) / (1 + tg_alpha) return expression

alpha = math.pi / 4 result = simplify_expression(alpha) print(result) ```

При заданном значении `alpha = pi/4`, упрощенное выражение будет равно `1.0`. Вы можете использовать этот кодовый пример для проверки результатов с другими значениями `alpha`.