Question

Запишите выражение в виде многочлена: (3x-y)^3.

Answer 1

Чтобы записать выражение в виде многочлена $(3x-y)^3$, нужно возвести это выражение в куб.

Для этого применим формулу бинома Ньютона, которая гласит:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$$

где $a = 3x$, $b = -y$, и $n = 3$.

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

$$(3x-y)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (3x)^{3-k}(-y)^k$$

Раскроем биномиальные коэффициенты:

$$\binom{3}{0} (3x)^3(-y)^0 + \binom{3}{1} (3x)^2(-y)^1 + \binom{3}{2} (3x)^1(-y)^2 + \binom{3}{3} (3x)^0(-y)^3$$

Вычислим биномиальные коэффициенты:

$$\binom{3}{0} = 1$$ $$\binom{3}{1} = 3$$ $$\binom{3}{2} = 3$$ $$\binom{3}{3} = 1$$

Теперь можем записать многочлен:

$$1 \cdot (3x)^3 \cdot (-y)^0 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot (-y)^1 + 3 \cdot (3x)^1 \cdot (-y)^2 + 1 \cdot (3x)^0 \cdot (-y)^3$$

Упростим выражения:

$$3^3x^3 + 3 \cdot 3^2x^2(-y) + 3 \cdot 3x(-y)^2 + (-y)^3$$

$$27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$$

Таким образом, выражение $(3x-y)^3$ в виде многочлена равно $27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$.