Question

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 12 см. Найдите длины катетов треугольника ,при которых треугольник имеет наибльшую площадь .

Answer 1

Давайте обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как \(x\) и \(y\), где \(x\) и \(y\) - это длины катетов, а гипотенуза обозначается как \(c\). Мы знаем, что сумма катетов равна 12 см, поэтому у нас есть уравнение:

\[x + y = 12\]

Также, согласно теореме Пифагора для прямоугольных треугольников, имеем уравнение:

\[x^2 + y^2 = c^2\]

Теперь, чтобы максимизировать площадь треугольника, мы должны максимизировать выражение \(S = \frac{1}{2}xy\), где \(S\) - площадь треугольника.

Мы можем использовать уравнение \(x + y = 12\) для выражения одной из переменных через другую и подставить это выражение в уравнение для площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной. Затем мы можем использовать метод дифференциации для нахождения максимума этой функции. Однако, учитывая, что это задание является математическим, я предоставлю вам ответ без выводов.

Итак, решая задачу оптимизации, мы приходим к выводу, что максимальная площадь прямоугольного треугольника достигается, когда катеты равны между собой и равны 6 см каждый.

Таким образом, длины катетов треугольника, при которых треугольник имеет наибольшую площадь, равны 6 см каждый.