Question

Помогите решить cos20°cos40°sin10°=

Answer 1

Давайте решим выражение \( \cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \sin(10^\circ) \).

Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. \(\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\) 2. \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\)

Преобразуем выражение, используя эти тождества:

\[ \begin{align*} \cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \sin(10^\circ) &= \cos(2 \cdot 10^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \sin(10^\circ) \\ &= (2\cos^2(10^\circ) - 1) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \sin(10^\circ). \end{align*} \]

Теперь заменим \(\cos(40^\circ)\) на \(\cos(2 \cdot 20^\circ)\), используя тригонометрическое тождество \(\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\):

\[ \begin{align*} (2\cos^2(10^\circ) - 1) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \sin(10^\circ) &= (2\cos^2(10^\circ) - 1) \cdot (2\cos^2(20^\circ) - 1) \cdot \sin(10^\circ). \end{align*} \]

Теперь у нас есть выражение, содержащее квадраты косинусов и синуса углов \(10^\circ\) и \(20^\circ\). Мы можем воспользоваться тем, что \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\) для любого угла \(\theta\), чтобы выразить одну из функций через другую.

Давайте выразим \(\cos^2(10^\circ)\) через \(\sin^2(10^\circ)\):

\[ \cos^2(10^\circ) = 1 - \sin^2(10^\circ). \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \begin{align*} &(2\cos^2(10^\circ) - 1) \cdot (2\cos^2(20^\circ) - 1) \cdot \sin(10^\circ) \\ &= (2(1 - \sin^2(10^\circ)) - 1) \cdot (2\cos^2(20^\circ) - 1) \cdot \sin(10^\circ). \end{align*} \]

Упростим:

\[ \begin{align*} &(2(1 - \sin^2(10^\circ)) - 1) \cdot (2\cos^2(20^\circ) - 1) \cdot \sin(10^\circ) \\ &= (2 - 2\sin^2(10^\circ) - 1) \cdot (2\cos^2(20^\circ) - 1) \cdot \sin(10^\circ) \\ &= (1 - 2\sin^2(10^\circ)) \cdot (2\cos^2(20^\circ) - 1) \cdot \sin(10^\circ). \end{align*} \]

Теперь можем использовать тригонометрическое тождество \(\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1\) для \(\cos(20^\circ)\):

\[ \begin{align*} &(1 - 2\sin^2(10^\circ)) \cdot (2\cos^2(20^\circ) - 1) \cdot \sin(10^\circ) \\ &= (1 - 2\sin^2(10^\circ)) \cdot (2(2\cos^2(10^\circ) - 1) - 1) \cdot \sin(10^\circ) \\ &= (1 - 2\sin^2(10^\circ)) \cdot (4\cos^2(10^\circ) - 3) \cdot \sin(10^\circ). \end{align*} \]

Теперь у нас есть выражение, в котором присутствуют только синусы и косинусы угла \(10^\circ\). Мы можем продолжить упрощение, но без конкретных числовых значений углов, дальнейшее упрощение не возможно.

Таким образом, \( \cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \sin(10^\circ) \) упрощается до выражения вида \( (1 - 2\sin^2(10^\circ)) \cdot (4\cos^2(10^\circ) - 3) \cdot \sin(10^\circ) \).