Question

1) Две стороны треугольника равны 3 и 6 а угол между ними 60 град.Найти биссектрису треугольника проведенную из вершины этого угла.   2) В треугольнике ABC сторона AB равна 21,биссектриса BD равна 8корней из 7 ,а отрезок DC равен 8. Найти периметр треугольника ABC.

Answer 1

Конечно, помогу с этими задачами по геометрии!

Задача 1:

У нас есть треугольник с двумя сторонами равными 3 и 6, и угол между ними равен 60 градусов. Мы хотим найти биссектрису, проведенную из вершины этого угла.

Для начала, давайте найдем третью сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:

Пусть \(c\) - третья сторона треугольника. Тогда: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где \(a = 3\), \(b = 6\), \(C = 60^\circ\):

\[c^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)\] \[c^2 = 9 + 36 - 36 \cdot \frac{1}{2}\] \[c^2 = 45\] \[c = \sqrt{45}\] \[c = 3\sqrt{5}\]

Теперь, чтобы найти биссектрису, используем формулу для биссектрисы в треугольнике:

\[BD = \frac{2ab}{a + b} \cdot \cos\left(\frac{C}{2}\right)\]

Где \(a = 3\), \(b = 6\), \(C = 60^\circ\):

\[BD = \frac{2 \cdot 3 \cdot 6}{3 + 6} \cdot \cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right)\] \[BD = \frac{36}{9} \cdot \cos(30^\circ)\] \[BD = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[BD = 2\sqrt{3}\]

Таким образом, биссектриса треугольника из вершины угла, равного 60 градусов и между сторонами 3 и 6, равна \(2\sqrt{3}\).

Задача 2:

У нас есть треугольник ABC, где сторона AB равна 21, биссектриса BD равна \(8\sqrt{7}\), и отрезок DC равен 8. Мы хотим найти периметр треугольника ABC.

Периметр треугольника - это сумма всех его сторон. Нам нужно найти сторону AC, чтобы найти периметр.

Известно, что \(BD\) - биссектриса треугольника, поэтому мы можем использовать формулу угловой биссектрисы:

\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\]

Где \(AB = 21\), \(BD = 8\sqrt{7}\), \(DC = 8\):

\[\frac{8\sqrt{7}}{8} = \frac{21}{AC}\] \[AC = \frac{21 \cdot 8}{8\sqrt{7}}\] \[AC = \frac{168}{8\sqrt{7}}\] \[AC = \frac{21}{\sqrt{7}}\] \[AC = 3\sqrt{7}\]

Теперь, чтобы найти периметр треугольника ABC:

Периметр \(P = AB + AC + BC\)

Поскольку у нас уже есть \(AB\) и \(AC\), чтобы найти \(BC\), просто вычтем \(DC\) из \(AC\):

\[BC = AC - DC\] \[BC = 3\sqrt{7} - 8\]

Теперь мы можем найти периметр:

\[P = 21 + 3\sqrt{7} + (3\sqrt{7} - 8)\] \[P = 21 + 6\sqrt{7} - 8\] \[P = 13 + 6\sqrt{7}\]

Итак, периметр треугольника ABC равен \(13 + 6\sqrt{7}\).