Question

Найдите все первообразные для функции f(x)= (ln sinx+1) cosx (Ответ знаю покажите решение пожалуйста)

Answer 1

Для нахождения первообразной функции f(x) = (ln(sin(x) + 1)) * cos(x) можно использовать метод интегрирования по частям. Давайте рассмотрим этот метод и найдем решение.

Метод интегрирования по частям:

Метод интегрирования по частям основан на формуле: ∫ u * dv = u * v - ∫ v * du,

где u и v - функции, а du и dv - их дифференциалы.

Решение:

Для начала, давайте выберем u и dv. В данном случае, можно выбрать: u = ln(sin(x) + 1), dv = cos(x) dx.

Теперь найдем du и v: du = (1 / (sin(x) + 1)) * cos(x) dx, v = ∫ cos(x) dx = sin(x).

Подставим значения в формулу интегрирования по частям: ∫ (ln(sin(x) + 1)) * cos(x) dx = u * v - ∫ v * du.

Подставим значения: ∫ (ln(sin(x) + 1)) * cos(x) dx = ln(sin(x) + 1) * sin(x) - ∫ sin(x) * (1 / (sin(x) + 1)) * cos(x) dx.

Упростим полученное выражение: ∫ (ln(sin(x) + 1)) * cos(x) dx = ln(sin(x) + 1) * sin(x) - ∫ (sin(x) / (sin(x) + 1)) * cos(x) dx.

Теперь рассмотрим второй интеграл ∫ (sin(x) / (sin(x) + 1)) * cos(x) dx. Для его решения можно воспользоваться заменой переменных.

Пусть t = sin(x) + 1, тогда dt = cos(x) dx. Заменим переменные в интеграле: ∫ (sin(x) / (sin(x) + 1)) * cos(x) dx = ∫ (1 / t) dt.

Интегрируем полученное выражение: ∫ (1 / t) dt = ln|t| + C,

где C - произвольная постоянная.

Подставим полученные значения обратно в исходное выражение: ∫ (ln(sin(x) + 1)) * cos(x) dx = ln(sin(x) + 1) * sin(x) - ln|sin(x) + 1| + C.

Таким образом, первообразная для функции f(x) = (ln(sin(x) + 1)) * cos(x) равна ln(sin(x) + 1) * sin(x) - ln|sin(x) + 1| + C, где C - произвольная постоянная.

Надеюсь, это решение помогло вам! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.