Question

100 баллов) 3я задача. Решите 50 баллов. Если не так бан. Укажите решение cos2x+5sinx+2>0

Answer 1

Конечно, помогу разобраться! Уравнения и неравенства с тригонометрическими функциями могут быть немного сложными, но давай посмотрим на это внимательно.

У нас дано неравенство: \( \cos(2x) + 5\sin(x) + 2 > 0 \).

Для начала, воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \). Теперь заменим \( \cos(2x) \) в исходном неравенстве:

\[ 1 - 2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 2 > 0 \]

Давай перенесем все члены в левую часть неравенства:

\[ -2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 3 > 0 \]

Теперь давай попробуем решить это квадратное неравенство. Для начала представим его в виде \( -2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 3 = 0 \) и найдем корни:

\[ \sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = -2 \), \( b = 5 \), и \( c = 3 \). Подставим значения:

\[ \sin(x) = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(-2)(3)}}{2(-2)} \] \[ \sin(x) = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{-4} \] \[ \sin(x) = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{-4} \] \[ \sin(x) = \frac{-5 \pm 7}{-4} \]

Таким образом, получаем два уравнения: 1. \( \sin(x) = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \) 2. \( \sin(x) = \frac{-12}{-4} = 3 \) - этот корень не подходит, так как синус не может быть больше 1 по модулю.

Теперь найдем значения \( x \), для которых \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \). Это происходит в трех четвертях плоскости: во второй, третьей и четвертой. В этих четвертях синус отрицателен.

Таким образом, \( x \) должен находиться в диапазоне углов, для которых \(-\frac{\pi}{2} < x < 0\) и \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \).

Ответ: \( x \) принадлежит интервалам \(-\frac{\pi}{2} < x < 0\) и \( \pi < x < \frac{3\pi}{2} \).