Question

Найти производную : у=tg4x/sin2x

Answer 1

Чтобы найти производную \( u = \frac{\tan(4x)}{\sin(2x)} \), мы будем использовать правила дифференцирования элементарных функций.

Для удобства воспользуемся несколькими тригонометрическими тождествами:

1. \(\tan(4x) = \frac{\sin(4x)}{\cos(4x)}\) 2. \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\)

Теперь продифференцируем функцию \( u \):

\[ u = \frac{\tan(4x)}{\sin(2x)} = \frac{\frac{\sin(4x)}{\cos(4x)}}{2\sin(x)\cos(x)} \]

Преобразуем числитель:

\[ \sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 2(2\sin(x)\cos(x))(2\cos^2(x) - 1) = 4\sin(x)\cos(x)(2\cos^2(x) - 1) \]

Теперь можем заменить \(\sin(4x)\) в исходном выражении:

\[ u = \frac{4\sin(x)\cos(x)(2\cos^2(x) - 1)}{\cos(4x)} \cdot \frac{1}{2\sin(x)\cos(x)} \]

\[ u = 2(2\cos^2(x) - 1) = 4\cos^2(x) - 2 \]

Теперь найдем производную \(u\) по переменной \(x\):

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (4\cos^2(x) - 2) \] \[ \frac{du}{dx} = 8\cos(x)(-\sin(x)) \] \[ \frac{du}{dx} = -8\cos(x)\sin(x) \]

Используя тригонометрические идентичности, мы можем заменить \(\cos(x)\sin(x)\) на \(\frac{1}{2}\sin(2x)\):

\[ \frac{du}{dx} = -8 \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) \] \[ \frac{du}{dx} = -4 \sin(2x) \]

Таким образом, производная функции \( u = \frac{\tan(4x)}{\sin(2x)} \) равна \( -4 \sin(2x) \).