Question

сума нескінченної геометричної прогресії дорівнює 162, а сума чотирьох її перших членів дорівнює 160. знайдіть перший член і знаменник прогресії

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі, спочатку давайте визначимо формулу для суми нескінченної геометричної прогресії.

Сума нескінченної геометричної прогресії може бути обчислена за формулою:

S = a / (1 - r),

де S - сума прогресії, a - перший член прогресії, r - знаменник прогресії.

Задано, що сума прогресії дорівнює 162. Тому ми маємо:

162 = a / (1 - r).

Також задано, що сума перших чотирьох членів прогресії дорівнює 160. Це означає, що:

160 = a + ar + ar^2 + ar^3.

Ми маємо систему рівнянь, яку можна вирішити, щоб знайти значення першого члена (a) і знаменника (r) прогресії.

Знаходження a та r

Для знаходження значень a та r, ми можемо використати метод елімінації змінних.

Давайте спочатку виразимо a з першого рівняння:

a = 162(1 - r).

Підставимо це значення у друге рівняння:

160 = 162(1 - r) + 162(1 - r)r + 162(1 - r)r^2 + 162(1 - r)r^3.

Розкриємо дужки:

160 = 162 - 162r + 162r - 162r^2 + 162r^2 - 162r^3 + 162r^3 - 162r^4.

Спростили:

160 = 162 - 162r^4.

Перенесемо 162 на інший бік:

-2 = -162r^4.

Поділимо обидві частини на -162:

r^4 = 2/162.

r^4 = 1/81.

Знайдемо четвертий корінь з обох боків:

r = (1/81)^(1/4).

r ≈ 0.5.

Тепер, коли ми знаходимо значення r, можемо використати перше рівняння для знаходження a:

162 = a / (1 - 0.5).

Помножимо обидві частини на (1 - 0.5):

162(1 - 0.5) = a.

162(0.5) = a.

a = 81.

Таким чином, перший член (a) прогресії дорівнює 81, а знаменник (r) дорівнює 0.5.