Question

Решите неравенство методом интервалов: 1) –х2+3х-2<0; 2)(9-18х)(6+24х)/(7-14х)≥0

Answer 1

Для решения этих неравенств методом интервалов, нужно сначала найти все точки, в которых выражения равны нулю или неопределены. Затем эти точки разбивают числовую прямую на интервалы и проверяют значения выражений в каждом интервале. Если выражение положительное или равно нулю на интервале, то неравенство выполняется на этом интервале. Если выражение отрицательное на интервале, то неравенство не выполняется на этом интервале.

1) Решение неравенства -х^2 + 3х - 2 < 0:

Сначала найдем точки, в которых выражение равно нулю или неопределено. Для этого решим уравнение -х^2 + 3х - 2 = 0:

-х^2 + 3х - 2 = 0

Можем решить это уравнение, используя факторизацию, полное квадратное уравнение или квадратное уравнение, используя формулу квадратного корня. В данном случае, мы воспользуемся формулой квадратного корня:

х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = -1, b = 3 и c = -2. Подставим эти значения в формулу:

х = (-3 ± √(3^2 - 4(-1)(-2))) / (2(-1))

Вычисляем:

х = (-3 ± √(9 - 8)) / (-2)
х = (-3 ± √1) / (-2)

Таким образом, имеем две точки: х1 = -1 и х2 = 2.

Теперь разобьем числовую прямую на интервалы, используя эти точки. Проверим значения выражения -х^2 + 3х - 2 на каждом интервале:

* При x < -1: Подставляем x = -2 (любое значение меньше -1) в неравенство:

-(-2)^2 + 3(-2) - 2 = -4 - 6 - 2 = -12 < 0

Выражение отрицательное. Неравенство не выполняется на этом интервале.

* При -1 < x < 2: Подставляем x = 0 (любое значение между -1 и 2) в неравенство:

-0^2 + 3(0) - 2 = -2 < 0

Выражение отрицательное. Неравенство не выполняется на этом интервале.

* При x > 2: Подставляем x = 3 (любое значение больше 2) в неравенство:

-3^2 + 3(3) - 2 = 4 > 0

Выражение положительное. Неравенство выполняется на этом интервале.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал x > 2.

2) Решение неравенства (9 - 18х)(6 + 24х)/(7 - 14х) ≥ 0:

Сначала найдем точки, в которых выражение равно нулю или неопределено. Для этого решим уравнение (9 - 18х)(6 + 24х)/(7 - 14х) = 0:

(9 - 18х)(6 + 24х)/(7 - 14х) = 0

Здесь можно заметить, что выражение будет равно нулю, если числитель (9 - 18х)(6 + 24х) равен нулю, а знаменатель (7 - 14х) не равен нулю.

Теперь решим уравнение (9 - 18х)(6 + 24х) = 0:

(9 - 18х)(6 + 24х) = 0

Для этого, мы разложим каждый множитель на множители и найдем значения х:

9 - 18х = 0   или   6 + 24х = 0

Решаем каждое уравнение отдельно:

9 - 18х = 0
18х = 9
х = 1/2

6 + 24х = 0
24х = -6
х = -1/4

Таким образом, имеем две точки: х1 = 1/2 и х2 = -1/4.

Теперь разобьем числовую прямую на интервалы, используя эти точки. Проверим значения выражения (9 - 18х)(6 + 24х)/(7 - 14х) на каждом интервале:

* При x < -1/4: Подставляем x = -1 (любое значение меньше -1/4) в неравенство:

(9 - 18*(-1))(6 + 24*(-1))/(7 - 14*(-1)) = 0

Выражение равно нулю. Неравенство выполняется на этом интервале.

* При -1/4 < x < 1/2: Подставляем x = 0 (любое значение между -1/4 и 1/2) в неравенство:

(9 - 18*0)(6 + 24*0)/(7 - 14*0) = 0

Выражение равно нулю. Неравенство выполняется на этом интервале.

* При x > 1/2: Подставляем x = 1 (любое значение больше 1/2) в неравенство:

(9 - 18*1)(6 + 24*1)/(7 - 14*1) = 0

Выражение равно нулю. Неравенство выполняется на этом интервале.

Таким образом, решением данного неравенства является любое значение x, так как неравенство выполняется на всех интервалах.