Question

Решите неравенство (x-5)^2/x^2+6x-7 меньше или равно 0

Answer 1

Чтобы решить неравенство \(\frac{{(x-5)^2}}{{x^2 + 6x - 7}} \leq 0\), следует выполнить несколько шагов.

1. Находим корни знаменателя: \[x^2 + 6x - 7 = 0\] Можем использовать квадратное уравнение или факторизацию для нахождения корней: \[ (x + 7)(x - 1) = 0\] Отсюда получаем два корня: \(x = -7\) и \(x = 1\).

2. Находим критические точки: Критические точки это корни уравнения в числителе и корни уравнения в знаменателе, исключая те, которые не входят в область определения (в данном случае, \(x = -7\) и \(x = 1\)).

Корни уравнения в числителе: \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)

Таким образом, критические точки: \(x = -7, x = 1, x = 5\).

3. Выбираем тестовую точку в каждом интервале: - Проверим интервал \((- \infty, -7)\), например, \(x = -8\). - Проверим интервал \((-7, 1)\), например, \(x = 0\). - Проверим интервал \((1, 5)\), например, \(x = 2\). - Проверим интервал \((5, \infty)\), например, \(x = 6\).

4. Подставляем тестовые точки в неравенство и определяем знак: - Для интервала \((- \infty, -7)\): \(\frac{{(-13)^2}}{{(-8)^2 + 6(-8) - 7}} > 0\). - Для интервала \((-7, 1)\): \(\frac{{(-5)^2}}{{(0)^2 + 6(0) - 7}} \leq 0\). - Для интервала \((1, 5)\): \(\frac{{(3)^2}}{{(2)^2 + 6(2) - 7}} > 0\). - Для интервала \((5, \infty)\): \(\frac{{(1)^2}}{{(6)^2 + 6(6) - 7}} \leq 0\).

5. Собираем ответ: Таким образом, неравенство удовлетворяется на интервалах \((- \infty, -7) \cup (1, 5)\). Ответ записывается в виде объединения интервалов: \[ x \in (-\infty, -7) \cup (1, 5) \]

Итак, решение неравенства \(\frac{{(x-5)^2}}{{x^2 + 6x - 7}} \leq 0\) – это интервалы \((- \infty, -7) \cup (1, 5)\).