Question

Помогите срочно: 2х^2-3х+1 / х-1 > или равно 0

Answer 1

Для решения неравенства \(\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} \geq 0\), нужно использовать метод интервалов. Давайте разберемся.

1. Найдем точки, где числитель и знаменатель равны нулю:

\(\text{Числитель:}\) \(2x^2 - 3x + 1 = 0\)

Решаем квадратное уравнение. Воспользуемся формулой \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где у нас \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\):

\(x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}\)

Получаем два корня: \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = 1\).

\(\text{Знаменатель:}\) \(x - 1 = 0\)

Отсюда получаем еще одну точку \(x = 1\).

2. Теперь разбиваем область определения (то есть значения \(x\), для которых знаменатель не равен нулю, т.е., \(x \neq 1\)) на интервалы, ограниченные найденными точками. Получаем три интервала: \((-\infty, \frac{1}{2})\), \((\frac{1}{2}, 1)\), и \((1, +\infty)\).

3. Выбираем внутреннюю точку из каждого интервала и определяем знак выражения \(\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}\) на этой точке.

- Для интервала \((-\infty, \frac{1}{2})\): возьмем \(x = 0\), тогда \(\frac{2(0)^2 - 3(0) + 1}{0 - 1} = 1\). Знак положителен. - Для интервала \((\frac{1}{2}, 1)\): возьмем \(x = \frac{3}{4}\), тогда \(\frac{2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1}{\frac{3}{4} - 1} = -\frac{1}{4}\). Знак отрицателен. - Для интервала \((1, +\infty)\): возьмем \(x = 2\), тогда \(\frac{2(2)^2 - 3(2) + 1}{2 - 1} = 3\). Знак положителен.

4. Собираем все результаты вместе:

\[ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} \geq 0 \begin{cases} x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \\ x \in (1, +\infty) \end{cases} \]

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах \((- \infty, \frac{1}{2})\) и \((1, +\infty)\).