Question

Решите неравенство 3х^2-х^4+4х^2 /х^2+х+2>0

Answer 1

Для решения неравенства 3x^2 - x^4 + 4x^2 / (x^2 + x + 2) > 0, сначала нужно привести его к виду f(x) / g(x) > 0, где f(x) и g(x) - многочлены. Для этого, упростим числитель, сложив 3x^2 и 4x^2:

(3x^2 + 4x^2) - x^4 / (x^2 + x + 2) > 0

7x^2 - x^4 / (x^2 + x + 2) > 0

Затем, нужно найти корни многочленов f(x) и g(x), то есть значения x, при которых f(x) = 0 и g(x) = 0. Для этого, можно использовать калькулятор онлайн или решить уравнения вручную. Корни f(x) = 7x^2 - x^4 равны 0, -sqrt (7) и sqrt (7). Корни g(x) = x^2 + x + 2 равны -1/2 - sqrt (7)/2 * i и -1/2 + sqrt (7)/2 * i, где i - мнимая единица. Так как мы рассматриваем только действительные числа, то корни g(x) не влияют на решение неравенства.

Далее, нужно построить знаковую таблицу для f(x) и g(x), то есть определить, какие знаки имеют эти функции на разных интервалах числовой прямой. Для этого, отметим на прямой точки 0, -sqrt (7) и sqrt (7) и проверим знаки функций в произвольных точках каждого интервала. Например, для f(x) можно выбрать точки -2, -1, 1 и 2. Получим следующую таблицу:

| x | (-inf, -sqrt (7)) | (-sqrt (7), 0) | (0, sqrt (7)) | (sqrt (7), +inf) | | f(x) | + | - | - | + | | g(x) | + | + | + | + |

Из таблицы видно, что g(x) всегда положительна, а f(x) меняет знак в точках -sqrt (7) и sqrt (7). Тогда, чтобы неравенство f(x) / g(x) > 0 было выполнено, нужно, чтобы f(x) и g(x) имели одинаковый знак, то есть обе были положительными или обе были отрицательными. Это происходит на интервалах (-inf, -sqrt (7)) и (sqrt (7), +inf). Ответ: x принадлежит (-inf, -sqrt (7)) или x принадлежит (sqrt (7), +inf).