Question

Найдите промежуток которому принадлежит сумма корней уравнения X в квдарате+3\х-4=Х в квдарате-Х\4-Х

Answer 1

Чтобы найти промежуток, которому принадлежит сумма корней уравнения \(x^3 - 4x = x^2 - \frac{x}{4} - x\), давайте выполним несколько шагов.

1. Приведем уравнение к виду, в котором все члены находятся на одной стороне, а другая сторона равна нулю:

\[ x^3 - 4x - x^2 + \frac{x}{4} + x = 0 \]

2. Объединим подобные члены:

\[ x^3 - x^2 - \frac{15x}{4} = 0 \]

3. Раскроем скобку и упростим уравнение:

\[ x(x^2 - x - \frac{15}{4}) = 0 \]

4. Найдем корни уравнения \(x^2 - x - \frac{15}{4} = 0\). Для этого воспользуемся квадратным уравнением:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где у нас \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = -\frac{15}{4}\).

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 15}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 4}{2} \]

Таким образом, у нас два корня: \(x_1 = -\frac{3}{2}\) и \(x_2 = \frac{5}{2}\).

5. Теперь рассмотрим промежутки, образованные корнями и дополнительными точками. Упорядочим корни и дополнительные точки по возрастанию:

\[ -\frac{3}{2}, \frac{5}{2} \]

Теперь у нас есть три интервала: \((- \infty, -\frac{3}{2})\), \((-\frac{3}{2}, \frac{5}{2})\), и \((\frac{5}{2}, +\infty)\).

6. Теперь определим знаки в каждом из этих интервалов. Выберем точку в каждом интервале и проверим её значение в уравнении:

- В интервале \((- \infty, -\frac{3}{2})\), выберем \(x = -2\). Подставим его в уравнение: \[ (-2)^3 - (-2)^2 - \frac{15(-2)}{4} = -8 - 4 + 7.5 > 0 \]

- В интервале \((-\frac{3}{2}, \frac{5}{2})\), выберем \(x = 0\). Подставим его в уравнение: \[ 0 - 0 - \frac{15(0)}{4} = 0 \]

- В интервале \((\frac{5}{2}, +\infty)\), выберем \(x = 3\). Подставим его в уравнение: \[ 3^3 - 3^2 - \frac{15(3)}{4} = 27 - 9 - 11.25 < 0 \]

Таким образом, уравнение меняет знак в следующих интервалах:

- В интервале \((- \infty, -\frac{3}{2})\) уравнение положительно. - В интервале \((-\frac{3}{2}, \frac{5}{2})\) уравнение отрицательно. - В интервале \((\frac{5}{2}, +\infty)\) уравнение снова положительно.

Таким образом, сумма корней уравнения \(x^3 - 4x = x^2 - \frac{x}{4} - x\) отрицательна на интервале \((-\frac{3}{2}, \frac{5}{2})\).