Question

Найдите сумму восемнадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если а4=115, а15=60

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы для арифметической прогрессии, которые связывают общий член \(a_n\) с номером члена \(n\) и разностью прогрессии \(d\).

Общий член арифметической прогрессии выражается как:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Где: - \(a_n\) - n-й член прогрессии, - \(a_1\) - первый член прогрессии, - \(n\) - номер члена, - \(d\) - разность прогрессии.

У нас есть информация о \(a_4 = 115\) и \(a_{15} = 60\). Мы можем использовать эти данные, чтобы найти первый член (\(a_1\)) и разность прогрессии (\(d\)).

Из уравнения общего члена прогрессии \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\), мы можем составить систему уравнений, используя информацию о \(a_4\) и \(a_{15}\):

1) \(a_4 = a_1 + (4 - 1) \cdot d = a_1 + 3d = 115\) 2) \(a_{15} = a_1 + (15 - 1) \cdot d = a_1 + 14d = 60\)

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. Давайте найдем значения \(a_1\) и \(d\), затем найдем сумму первых 18 членов прогрессии.

Сначала решим систему уравнений:

Из уравнения (1) мы можем выразить \(a_1\) через \(d\):

\[a_1 = 115 - 3d\]

Подставим это значение в уравнение (2):

\[115 - 3d + 14d = 60\]

Упростим уравнение:

\[115 + 11d = 60\] \[11d = 60 - 115\] \[11d = -55\] \[d = -5\]

Теперь, зная разность прогрессии \(d = -5\), найдем \(a_1\):

\[a_1 = 115 - 3d = 115 - 3(-5) = 115 + 15 = 130\]

Теперь у нас есть \(a_1 = 130\) и \(d = -5\). Мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии, чтобы найти сумму первых 18 членов:

Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

Для нашего случая: - \(n = 18\) - \(a_1 = 130\) - \(a_{18} = a_1 + (18 - 1) \cdot d\) (используя разность \(d = -5\))

\[a_{18} = 130 + 17 \cdot (-5) = 130 - 85 = 45\]

Теперь, используя формулу суммы:

\[S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (130 + 45)\] \[S_{18} = 9 \cdot 175 = 1575\]

Таким образом, сумма первых 18 членов арифметической прогрессии равна \(1575\).