Question

Помогите пожалуйста решите неравенства a)корень из x^2+7x+12>6-x б)(x^2+7x)умноженное на корень из x-2>0 решите уравнение x^2-x+корень из x^2-x+9=3

Answer 1

Давайте решим по порядку.

a) \( \sqrt{x^2 + 7x + 12} > 6 - x \)

Для начала, возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ x^2 + 7x + 12 > (6 - x)^2 \]

Раскроем квадрат справа:

\[ x^2 + 7x + 12 > 36 - 12x + x^2 \]

Теперь объединим все члены с \(x\) на одной стороне уравнения:

\[ 7x + 12 > 36 - 12x \]

Прибавим \(12x\) к обеим сторонам и выразим \(x\):

\[ 19x > 24 \]

\[ x > \frac{24}{19} \]

Таким образом, решением неравенства \( \sqrt{x^2 + 7x + 12} > 6 - x \) является \( x > \frac{24}{19} \).

b) \( (x^2 + 7x) \cdot \sqrt{x - 2} > 0 \)

Это неравенство выполнено, когда оба множителя \( (x^2 + 7x) \) и \( \sqrt{x - 2} \) положительны или оба отрицательны.

Рассмотрим два случая:

1. Оба множителя положительны: \[ x^2 + 7x > 0 \] Это верно для \( x > 0 \) и \( x < -7 \).

Также, \( \sqrt{x - 2} > 0 \) при \( x > 2 \).

Таким образом, решение для этого случая: \( x \in (2, +\infty) \).

2. Оба множителя отрицательны: \[ x^2 + 7x < 0 \] Это верно для \( -7 < x < 0 \).

Также, \( \sqrt{x - 2} < 0 \) не имеет решений, так как квадратный корень всегда неотрицателен.

Таким образом, решение для этого случая: \( x \in (-7, 0) \).

Объединяя оба случая, получаем решение \( x \in (-7, 0) \cup (2, +\infty) \).

c) \( x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 3 \)

Давайте избавимся от корня, перенеся его на другую сторону:

\[ x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} - 3 = 0 \]

Теперь мы можем использовать подходящие методы для решения квадратного уравнения. Возможно, имеет смысл внести подкоренное выражение под квадрат:

\[ (\sqrt{x^2 - x + 9})^2 = x^2 - x + 9 \]

Таким образом, уравнение становится:

\[ x^2 - x + x^2 - x + 9 - 3 = 0 \]

Сгруппируем подобные члены:

\[ 2x^2 - 2x + 6 = 0 \]

Разделим все члены на 2:

\[ x^2 - x + 3 = 0 \]

Это квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант (\(b^2 - 4ac\)) отрицателен (\((-1)^2 - 4(1)(3) = -8\)). Таким образом, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.