Question

Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=x^2-3x в точке x0=2

Answer 1

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^2 - 3x\) в точке \(x_0 = 2\), мы будем использовать определение производной в данной точке. Касательная к графику функции в данной точке будет иметь угловой коэффициент, равный значению производной функции в этой точке.

1. Найдем производную функции \(f(x) = x^2 - 3x\): \[f'(x) = 2x - 3.\]

2. Теперь подставим значение \(x_0 = 2\) в выражение для производной: \[f'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 1.\]

3. Угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = 2\) равен 1. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: \[y - y_0 = m(x - x_0),\] где \(y_0\) и \(x_0\) - координаты точки, в которой проводится касательная, а \(m\) - угловой коэффициент.

В нашем случае \(x_0 = 2\), \(y_0 = f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 = -2\), и \(m = 1\).

Таким образом, уравнение касательной: \[y - (-2) = 1 \cdot (x - 2).\]

4. Упростим уравнение: \[y + 2 = x - 2.\]

5. Переносим -2 на правую сторону: \[y = x - 4.\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^2 - 3x\) в точке \(x_0 = 2\) имеет вид \(y = x - 4\).