Question

А) Решите уравнение sin2x=sinx-2cosx+1 б) Найдите всё корни этого уравнения принадлежащие промежутку [3П/2;3П]

Answer 1

Конечно, давайте разберём данное уравнение.

У нас есть уравнение \( \sin(2x) = \sin(x) - 2\cos(x) + 1 \).

Для начала, преобразуем \( \sin(2x) \) в более простую форму. Это тождество двойного угла, которое можно записать как \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). Подставим это обратно в уравнение:

\[ 2\sin(x)\cos(x) = \sin(x) - 2\cos(x) + 1 \]

Теперь приведём всё к одной стороне уравнения:

\[ 2\sin(x)\cos(x) - \sin(x) + 2\cos(x) - 1 = 0 \]

Давайте рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно \( \sin(x) \):

\[ 2\sin(x)\cos(x) - \sin(x) + 2\cos(x) - 1 = 0 \] \[ 2\sin(x)\cos(x) - \sin(x) = -2\cos(x) + 1 \] \[ \sin(x)(2\cos(x) - 1) = -2\cos(x) + 1 \] \[ \sin(x) = \frac{-2\cos(x) + 1}{2\cos(x) - 1} \]

Теперь мы можем использовать тригонометрическую тождества \( \sin(x) = \frac{1}{\csc(x)} \) и \( \cos(x) = \frac{1}{\sec(x)} \):

\[ \frac{1}{\csc(x)} = \frac{-2 \cdot \frac{1}{\sec(x)} + 1}{2 \cdot \frac{1}{\sec(x)} - 1} \] \[ \frac{1}{\csc(x)} = \frac{-2 + \sec(x)}{2 - \sec(x)} \] \[ \csc(x) = \frac{2 - \sec(x)}{-2 + \sec(x)} \] \[ \frac{1}{\sin(x)} = \frac{2 - \frac{1}{\cos(x)}}{-2 + \frac{1}{\cos(x)}} \]

Теперь заметим, что \( \frac{1}{\sin(x)} = \csc(x) \) и \( \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x) \):

\[ \csc(x) = \frac{2 - \sec(x)}{-2 + \sec(x)} \] \[ \csc(x) (-2 + \sec(x)) = 2 - \sec(x) \] \[ -2\csc(x) + \csc(x)\sec(x) = 2 - \sec(x) \] \[ \csc(x)\sec(x) + \sec(x) = 2 + 2\csc(x) \] \[ \sec(x)(\csc(x) + 1) = 2(1 + \csc(x)) \] \[ \sec(x) = \frac{2(1 + \csc(x))}{\csc(x) + 1} \]

Теперь мы можем заменить \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \) и \( \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \):

\[ \frac{1}{\cos(x)} = \frac{2(1 + \frac{1}{\sin(x)})}{\frac{1}{\sin(x)} + 1} \] \[ \frac{1}{\cos(x)} = \frac{2\sin(x)(1 + \sin(x))}{1 + \sin(x)} \] \[ \frac{1}{\cos(x)} = 2\sin(x) \]

Теперь, так как \( \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x) \) и \( \sec(x) = 2\sin(x) \), мы можем найти \( \sin(x) \):

\[ \sec(x) = 2\sin(x) \] \[ \frac{1}{\cos(x)} = 2\sin(x) \] \[ \frac{1}{2\sin(x)} = \cos(x) \] \[ \sin(x) = \frac{1}{2\cos(x)} \]

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \):

\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] \[ \left(\frac{1}{2\cos(x)}\right)^2 + \cos^2(x) = 1 \] \[ \frac{1}{4\cos^2(x)} + \cos^2(x) = 1 \] \[ 1 + 4\cos^4(x) = 4\cos^2(x) \] \[ 4\cos^4(x) - 4\cos^2(x) + 1 = 0 \]

Теперь подставим \( \cos^2(x) = t \):

\[ 4t^2 - 4t + 1 = 0 \]

Решив это уравнение второй степени, мы можем найти значения \( \cos^2(x) \), а затем и значения \( \cos(x) \). После этого можно будет найти соответствующие значения \( \sin(x) \), используя \( \sin(x) = \frac{1}{2\cos(x)} \).

Чтобы найти корни уравнения в заданном интервале \([3\pi/2; 3\pi]\), после нахождения всех корней \(x\) нужно проверить, какие из них лежат в этом интервале.