Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а произведение катетов ровно 60. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника буквами \(a\) и \(b\), а гипотенузу — буквой \(c\). Известно, что гипотенуза равна 13, то есть \(c = 13\). Также известно, что произведение катетов равно 60, т.е. \(ab = 60\).

Мы знаем, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора, которая записывается как:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Подставим известные значения:

\[13^2 = a^2 + b^2\]

\[169 = a^2 + b^2\]

Также известно, что \(ab = 60\). Теперь мы можем воспользоваться этими уравнениями для нахождения \(a\) и \(b\).

Мы знаем, что \(ab = 60\), поэтому один из катетов можно представить как \(\frac{60}{a}\). Подставим это выражение в уравнение \(169 = a^2 + b^2\):

\[169 = a^2 + \left(\frac{60}{a}\right)^2\]

Умножим обе стороны на \(a^2\), чтобы избавиться от дроби:

\[169a^2 = a^4 + 60^2\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(a\). Приведем его к стандартной форме:

\[a^4 - 169a^2 + 3600 = 0\]

Это уравнение можно решить, используя факторизацию или квадратное уравнение относительно \(a^2\).

\[ (a^2 - 25)(a^2 - 144) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения \(a\): \(a = 5\) или \(a = 12\). Так как катет не может быть больше гипотенузы, то \(a = 5\).

Теперь мы можем найти значение \(b\):

\[b = \frac{60}{a} = \frac{60}{5} = 12\]

Таким образом, катеты равны 5 и 12, а гипотенуза равна 13.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон:

\[P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30\]

Итак, периметр треугольника равен 30.