Question

Исследуйте функцию на экстремум y=x^2-8х+12

Answer 1

Чтобы исследовать функцию на экстремум, нужно выполнить несколько шагов: найти производные функции, найти точки, где производная равна нулю или не существует, и затем анализировать поведение функции в окрестности этих точек. Давайте приступим к решению.

Исходная функция: \[ y = x^2 - 8x + 12 \]

1. Найдем первую производную функции \(y\): \[ y' = 2x - 8 \]

2. Найдем точки, где \(y'\) равно нулю: \[ 2x - 8 = 0 \] \[ 2x = 8 \] \[ x = 4 \]

Таким образом, точка \(x = 4\) является критической точкой.

3. Найдем вторую производную функции \(y\): \[ y'' = 2 \]

4. Оценим поведение функции в окрестности критической точки \(x = 4\): - Если \(y'' > 0\), то функция выпукла вверх, и точка является локальным минимумом. - Если \(y'' < 0\), то функция выпукла вниз, и точка является локальным максимумом.

В данном случае \(y'' = 2 > 0\), что означает, что критическая точка \(x = 4\) является локальным минимумом.

Теперь найдем значение функции в этой точке: \[ y(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 \]

Таким образом, функция \(y = x^2 - 8x + 12\) имеет локальный минимум в точке \((4, -4)\).