Question

Докажите неравенство: X^2-x+8>0

Answer 1

Чтобы решить неравенство \(X^2 - x + 8 > 0\), давайте воспользуемся методом квадратного трехчлена. Нам нужно найти значения \(X\), для которых выражение \(X^2 - x + 8\) положительно.

1. Сначала рассмотрим квадратное уравнение \(X^2 - x + 8 = 0\). 2. Затем найдем корни этого уравнения, которые разделят числовую прямую на три интервала. 3. После этого проверим знак выражения \(X^2 - x + 8\) на каждом из этих интервалов.

Начнем с квадратного уравнения:

\[X^2 - x + 8 = 0\]

Дискриминант этого уравнения равен \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 1 - 32 = -31\). Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет комплексные корни.

Корни можно найти, используя формулу:

\[X = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае:

\[X = \frac{1 \pm i \sqrt{31}}{2}\]

Таким образом, уравнение \(X^2 - x + 8 = 0\) имеет комплексные корни, и они не будут влиять на знак выражения.

Теперь разделим числовую прямую на три интервала, опираясь на корни уравнения:

1. Если \(X < \frac{1 - \sqrt{31}i}{2}\), 2. Если \(\frac{1 - \sqrt{31}i}{2} < X < \frac{1 + \sqrt{31}i}{2}\), 3. Если \(X > \frac{1 + \sqrt{31}i}{2}\).

Теперь проверим знак выражения \(X^2 - x + 8\) на каждом интервале:

1. Для \(X < \frac{1 - \sqrt{31}i}{2}\): Подставим \(X\) в выражение. Так как коэффициент при \(X^2\) положителен, это выражение будет положительным.

2. Для \(\frac{1 - \sqrt{31}i}{2} < X < \frac{1 + \sqrt{31}i}{2}\): Подставим \(X\) в выражение. Так как коэффициент при \(X^2\) положителен, это выражение будет положительным.

3. Для \(X > \frac{1 + \sqrt{31}i}{2}\): Подставим \(X\) в выражение. Так как коэффициент при \(X^2\) положителен, это выражение будет положительным.

Таким образом, неравенство \(X^2 - x + 8 > 0\) верно для всех действительных значений \(X\).